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数学中,一个向量空间张量代数tensor algebra),记作,是上的(任意阶)张量代数,其乘法为张量积。张量代数左伴随于从代数到向量空间的遗忘函子,在这种意义下它是上的自由代数;在相应的泛性质的意义下,它是包含的“最一般的代数”(见下)。

张量代数也具有余代数结构。

:本文中所有代数都假设是有单位的结合

构造编辑

  上一个向量空间。对任何非负整数 ,我们定以  次张量积 与自己的 张量积

 

这便是讲,  上所有 张量组成。习惯上 是基域 (作为自己的一维向量空间)。

 为所有  )的直和

 

 中的乘法由典范同构确定:

 

由张量积给出,然后线性扩张到所有 。此乘法表明张量代数 自然是一个分次代数 作为 次子空间。

此构造可径直推广到任意交换环上的 上。如果 是一个非交换环,我们仍然可以对任意 -  双模执行这样的构造。(对通常的 -模不行,因为没有迭代张量积。)

伴随与泛性质编辑

张量代数 也成为向量空间 上的自由代数,并具有函子性。像其它自由构造一样,函子 左伴随于某个遗忘函子,该函子将每个 -代数送到它的底向量空间。

准确地说,张量代数满足如下的泛性质,正式地表明它是包含 的最一般的代数:

任何从  上的一个代数 线性变换 可以惟一地扩张为从  的一个代数同态,如下交换图表所示:

这里   的典范包含(伴随的单位)。事实上可以定义张量代数 为满足这个性质惟一的代数(确切地说,在惟一的一个同构意义下),但仍然要证明满足这个性质的对象存在。

如上泛性质说明张量代数的构造有自然的函子性。就是讲, 是从 -Vect 向量空间范畴,到 -Alg -代数范畴,的一个函子 的函子性意味着任何从VW的线性映射惟一地扩张为从  的代数同态。

非交换多项式编辑

如果 为有限维 ,张量代数的另一个看法是“   个非交换变量的多项式代数”。如果我们取 的基向量,它们成为 中的非交换变量(或不定元),彼此间没有任何约束(除了结合律分配律以及K-线性)。

注意 上的多项式代数不是 ,而是  上一个(齐次)线性函数是 中的一个元素。

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因为张量代数的一般性,许多其它有趣的代数可以由张量代数开始构造,然后在生成元上施以一定的关系,即构造 一定的商代数。这样的例子譬如外代数对称代数克利福德代数以及泛包络代数

余代数结构编辑

张量代数上的余代数结构如下。余积 定义为

 

线性扩张到整个 。余单位由 的0-次分量。注意到 保持分次:

 

 也与分次相容。

张量代数在这个余积下双代数。但下述更复杂的余积确实得到一个余代数:

 

这里求和取遍所有(p,m-p)-牌序。最后,对极映射为:

 

线性扩张到整个 ,这样张量代数成为一个霍普夫代数

参见编辑

参考文献编辑

  • 陈维桓. 微分流形初步 第二版. 北京: 高等教育出版社. 2001年8月. 
  • Mac Lane, Saunders. Categories for the Working Mathematician(2nd ed.). GTM5. Spinger, 1998