张量 (内蕴定义)

数学中,处理张量理论的现代无分量component-free英语component-free)方法首先将张量视为抽象对象,表示多重线性概念的某些特定类型。他们一些熟知的性质可由作为线性映射或更广泛地定义得出;而张量的操作导致了线性代数扩张为多重线性代数

微分几何中,一个内蕴的几何论断也许可以用一个流形上的张量场表示,这样完全不必使用参考坐标系。在广义相对论中同样如此,张量场描述了物理性质。无分量方法在抽象代数同调代数中也很常用,在那里张量自然地出现了。

用向量空间的张量积定义编辑

给定 上一个有限向量空间集合 ,我们可以考虑他们的张量积  。这个张量积中的一个元素称为一个张量(但这不是本文讨论的张量概念)。

向量空间 上的张量定义成具有形式

 

的向量空间中的一个元素(即向量),这里 V* 是 V 的对偶空间。

如果在我们的积中有    ,张量称为 ,具有反变(contravariant)阶数 与共变(covariant,也稱協變)阶数 ,总阶数 。零阶张量就是数量(域 中的元素),1 阶反边张量是 中的向量,1 阶共变张量是 中的1-形式(因此,后两个空间经常称为反变向量与共变向量)。

 型张量

 

自然同构于从  线性变换空间。一个实向量空间 内积自然对应于 张量

 

称为相应的度量,一般记作 

其它记法编辑

文献中通常不写出完整的张量积以表示 型张量的空间,而使用缩写:

 

这个空间的另外一种记法是用从向量空间 到向量空间 的线性映射来表示。讓

 

表示所有从  的线性映射的集合,這會形成一個向量空間。因此,例如对偶空间(线性泛函的空间)可以写成

 

由 universal property 可知,(m,n)-张量有如下自然的同構(isomorphism)關係

 

在上面的公式中,  的角色互换了。特别地,我们有

 

 

以及

 

以下记法

 

通常用来表示从 VW 的可逆线性变换的空间,但对于张量空间没有类似的记法。

张量场编辑

微分几何物理学工程学必须经常要处理光滑流形上的张量场。术语“张量'”实际上有时用作张量场的简称。一个张量场表达了逐点变化的张量的概念。

張量在不同座標間的變換公式编辑

对任何给定向量空間  我們有 的一组基底 ,以及對應的對偶空間  以及和向量基底  對應的对偶基底  (也可用 來表示)。上指标与下指标的区别提醒我们分量变换的方式以及向量跟餘向量(covector)或是向量跟餘向量的係數的分別。

例如,取空间

 

中的张量  ,在我们的坐标系下分量可写成

 

这里我们使用愛因斯坦求和約定,这是处理張量份量的一种常見約定:即当張量分量同時出現了一組上指标与下指标时,我们对這上下指標所有可能值求和,比如說: 這符號,在這約定下即代表 。也就是說在在愛因斯坦求和約定下我們有 。在物理中我们经常使用表达式

 

來表示张量,就像向量经常写成分量形式,这可以视为一个 数组。假設在另一坐标系中,有另一组基底 ,則對同一向量來說兩組基底對應的分量將會不同。如果  是兩基底間的变换矩阵(注意这不是一个张量,因为它表达一个基的变化而不是一个几何实体),也就是

 

,设   逆矩陣,對同一張量在新基底的張量分量設為 ,則兩者之間的變換公式為:

 

注意上面的第二個等式使用了愛因斯坦求和約定。 在旧教材中这个变换规律经常作为一个张量的定义。形式上,这意味这那个张量作为所有坐标变换组成的的一个特定表示

参考文献编辑