弦切角定理

弦切角定理(英語:Alternate Segment Theorem)的定义是:交变段定理(也称为切弦定理)指出,在任何中,弦切角度数等于通过一个切线之间的端点夹角,亦是所夹所对的圆周角(圆心角的一半)。

证明编辑

已知:∠BAC是圆O的弦切角,AC与圆O相切,∠BAC所夹的弧是弧AB,∠APB是弧AB所对的圆周角.

求证:∠BAC=∠APB

证明:

(1)当圆心O在∠BAC的弦AB上时,如图1.

∵AC与圆O相切於点A,AB是圆O的直径.
∴AB⊥AC
得∠BAC=90°
∵弧AB是半圆,∠APB是弧AB所对的圆周角.
∴∠APB=90°
∴∠BAC=∠APB

(2)当圆心O在∠BAC的外部时,如图2,作圆O的直径AD,再联结PD.

由(1)得∠DAC=∠APD
即∠1+∠BAC=∠2+∠APB
∵∠1=∠2
∴∠BAC=∠APB

(3)当圆心O在∠BAC的内部时,如图3,作圆O的直径AD,再联结PD.

由(1)得∠DAC=∠APD
即∠BAC-∠1=∠APB-∠2
∵∠1=∠2
∴∠BAC=∠APB
综上所述,总有∠BAC=∠APB.

 

参考文献编辑

上海教育出版社 《数学》九年级拓展II