弱微分

(重定向自弱导数

数学中,弱微分Weak Derivative)是一个函数微分(强微分)概念的推广,它可以作用于那些勒贝格可积(Lebesgue Integrable)的函数,而不必预设函数的可微性(事实上大部分可以弱微分的函数并不可微)。一个典型的勒贝格可积函数的空间是。在分布中,可以定义一个更一般的微分概念。

定义编辑

 是一个在 中的勒贝格可积的函数,称  的一个弱微分,如果

 

其中 是任意一个连续可微的函数,并且满足 

推广到 维的情形,如果   中的函数(在某个开集 局部可积),并且 是一个多重指标,那么 称为  次弱微分,如果

 

其中 是一个任意给定的函数,即给定的支撑集含于 无穷可微的函数。

如果 的弱微分存在,一般被记为 。可以证明,一个函数的弱微分在测度意义是唯一的,即如果有两个不同的弱微分,其仅可能在一个零测集上存在差异。

例子编辑

函數    並不可微,但具有以下被稱為符號函數的弱微分:

 

性质编辑

如果两个函数是相同函数的弱导数,那么它们除了在一个勒贝格测度为零的集合上以外相等,也就是说,它们几乎处处相等。如果我们考虑函数的等价类,其中两个函数是等价的如果它们几乎处处相等,那么弱导数是唯一的。

此外,如果u是可微的,那么它的弱导数与导数相同。因此弱导数是导数的推广。更进一步,两个函数的和与积的导数公式对弱导数也是成立的。

参见编辑

参考文献编辑