循环小数

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循环小数,是從小數部分的某一位起,一個數字或幾個數字,依次不斷地重複出現的小數。可分为有限循环小数和无限循环小数。

循環小數
1
7
=0.142857142857…
各种各样的
基本

NumberSetinC.svg

延伸
其他

圓周率
自然對數的底
虛數單位
無窮大

定義编辑

循環小數都為有理數小數表示形式,例:

 

 

 

性质编辑

  • 一个分母为N的循环小数的循环节位数最多不超过N-1位。
  • 根據分數 的情況分開討論
1.除数a为 的倍數时, 有max(m,n)个不循环位数,其中 為任意自然數, 為非 之其他數。
2.如果 ,a不是2或5的倍数,並且a與b互質,那麼存在一個正整數e,e為 的循環節位數,而e= [1]
 表示 可以整除a,或稱 與1同餘)
事實上以該參考文獻的定理一公式推導式子: 來看, 也成立,例如  ,兩者循環小數一致,因為 ,只差別在商,餘數皆為1(同餘)故成立。
3.承接以上兩點,當除数a可以質因數標準分解式表示成  時,會有max(m,n)個不循環位數,和 個循環節位數。
其中, ,  ,⋯, 分別各有e1,e2,...,en個循環節位數,存在一個最小公倍數 e1,e2,...,en 
例: 的循環節個數?
答:前三位不循環(2 和 5 的最高次方為 3),循環節個數是 48(因為 的循環節位數為1,7的循環節位數為6,17的循環節位數為16,[1,6,16]=48)[2]

化為分數的方法编辑

  1. 先看有幾位「非循環節位數( )」和「循環節位數( )」,算出後,將 擺於「分母」。
  2. 分子」則是將「非循環節部分」和「循環節部分」併為一個數字,將其減去「非循環節部分」,即 ,詳細公式如下。
  3. 公式: 
  4. 原理:
    1.  
    2.  ──①式。
    3.  ──②式。
    4. ②-①⇒ 
    5.  
  5. 範例: 
    1.  
    2.   
    3. 兩式相減得  
    4.  

计算方法编辑

利用短除法可以将分数(有理数 )转化为循环小数。

例如 可以用短除法计算如下:

7|3.00000000000000000
  0.42857142857142857...

表示方法编辑

在不同的国家地区对循环小数有不同的表示习惯。

 

  • 使用「上点」表示,如:

 

  • 使用「大括号」表示,如:

 

缺点编辑

不唯一性编辑

使用循环小数表示有理数的缺点在于表示方式的不唯一性,例如 

進位制系統密切相关编辑

由于循环小数与進位制系統密切相关,使得一些简单的有理数在循环小数表示法中的表示形式相当复杂。如 

但在某些进位制当中反而因为循环节较短,使得看起来相当简单。如 

参考资料编辑

  1. ^ 康明昌. 循環小數 (PDF). 數學傳播. 2001年9月, 25 (3) [2014-12-28]. 
  2. ^ 質數循環節的位數 (PDF). 

參見编辑

外部連結编辑