微元法

微元法(英語:Differential element method),也叫元素法微元素法无穷小元素的求和法,是数学物理中常用的一种求解数学和物理问题的方法。

概述编辑

在求解力学量和物理量的实际应用中,很多新量的建立需要类似定积分中在求解面积和路程问题时分割、近似、求和、取极限的过程,为了使这一过程简化,微元法也就应运而生,微元法本身就是定积分的原始思想,它可以看做分割、近似、求和、取极限的简略过程,所以微元法也是一种思想方法。

历史上,在微积分的理论基础还不清楚,微分还没有严格定义时,微分被理解为一个比零大,但又比任何正数小的神秘的“数”,是无法理解的,这与现代明确的微分定义是不同的,它所对应的被度量的物理量就是微元。微元就是用这种无限小“微分”度量的具体的量,把微元理解为一个“无限小的过程”即“元过程”,这个“过程”可以是角度线段、面、体,还可以是时间位移等等,积分便是这些“无限小过程”之和,在求解力学量和物理量时,用这种想法可以快速地建立新量的积分表达式,因为这种想法方便实用,简便快捷,所以应用相当广泛。

微积分的理论基础严格建立起来之后,旧的微分概念被抛弃了,取而代之的是现在的微分概念,微元法也有了严格的叙述方式,但在实际应用中,严格叙述较为繁琐,所以往往还是采用过去的理解,把微元看做“无限小的过程”。

内容编辑

假设在某一实际问题中,对于给定的连续函数 ,量 有以下三个特点:

1.一方面, 是由区间 所决定的常量,不妨记之为 。另一方面,当考虑右端点变动的区间 时, 又依赖于 而成为变量,也就是说,它又是 的函数而简记为 
2.对于 的每个子区间, 都有确定的值,并且关于区间有可加性,即若 ,则

 

3.部分量 的近似值可表示为 

为了计算出量 并把它表达为积分的形式,我们采取两个步骤:

第一步(分割、近似),将区间 进行分割,而得到

 ,

并求出 (即 )的近似值 

第二步(求和、取极限),将 关于   求和得到

 

 取极限,由于连续函数 的可积性,最后得

 

接下来我们把这个过程进行简化。

由上式可以知道

 

如果略去足码 ,而将任意的小区间记为 ,并取 的近似值为 ,由微分形式的微积分基本定理[1]可知,它恰恰是 微分,即  于是在实际应用上,上述两个步骤可以简述为

第一步,在区间 上计算 的微分 

第二步,在 上求和(求积)得

 

不论是几何的物理的还是其他科学技术的量,只要它具有上述的三个特点,我们就可以用这个一般的程式求出它。这种方法通常称为无穷小元素的求和法微元法。而  则称为无穷小元素微元。由于在力学和物理学的大部分问题中,通过问题的实际意义可以知道,所求量的函数是连续函数,因此微元法总是可以应用的。

注释编辑

  1. ^ 微分形式的微积分基本定理: 若函数 ,则 ,且有 .

参考资料编辑

  • 《微积分学教程》菲赫金哥尔茨编
  • 《数学分析》宋国柱等编
  • 《数学分析(第三版)》华东师范大学数学系编
  • 《高等数学(第六版)》同济大学数学系编