打开主菜单
当绿点遍历整个函数时,绿点在y-轴上的投影红点走过的路程就是该函数的总变分.

数学领域总变差就是一函数其数值变化的差的总和。

定义编辑

矢量空间编辑

实值函数 定义在区间 的总变差是一维参数曲线 弧长连续可微函数的总变差,可由如下的积分给出

 

任意实值或虚值函数 定义在区间 上的总变差,由

 

定义。其中 为区间 中的所有分划.

定义在有界区域 上的实值可积函数 总变差,定义为

 

其中  是Ω中的紧支集上全体连续可微向量函数构成的集合,  本质上确界范数

 可微,上式可简化为

 

度量空间编辑

在一个度量空间 上,集函数 ,其总变差为:

 

其中  的划分。 如果 符号测度,通过汉分解定理可知:

 

可微定义的证明编辑

首先需要利用高斯散度定理证明一个等式.

引理编辑

在假设条件下,下面的等式成立:

 

引理证明编辑

高斯散度定理 . 将 代入,可得

 

由于在 的边界上 ,从而

 

注意到 代入上式,移项即得

 .

如果函数 的总变差有限,则称函数 有界变差函数.

参阅编辑

外部链接编辑

理论编辑

单变量

多变量

测度论

概率论

应用编辑