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截角二十面體

一种阿基米德立体



截角二十面體
截角二十面體
(按這裡觀看旋轉模型)
類別 半正多面體
32
90
頂點 60
歐拉特徵數 F=32, E=90, V=60 (χ=2)
面的種類 正五邊形
正六邊形
面的佈局英语Face configuration 12{5}+20{6}
頂點圖 5.6.6
考克斯特符號英语Coxeter-Dynkin diagram CDW dot.pngCDW 5.pngCDW ring.pngCDW 3.pngCDW ring.png
施萊夫利符號 t{3,5}
威佐夫符號英语Wythoff symbol 2 5 | 3
康威表示法 tI
對稱群 Ih
參考索引 U25, C27, W9
對偶 五角化十二面體
特性 -
立體圖 Truncated icosahedron vertfig.png
5.6.6
頂點圖
Pentakisdodecahedron.jpg
五角化十二面體
(對偶多面體)
Truncated icosahedron flat-2.svg
(展開圖)

幾何學中,截角二十面體是一種半正多面體,由於其具有點可遞的性質,因此屬於阿基米德立體[1]。它由12個正五邊形面、20個正六邊形面、60個頂點和90個邊構成。由於包含了正五邊形和六邊形面因此也是一種戈德堡多面体,在戈德堡符號中可用GPV(1,1) 或 {5+,3}1,1表示[2]。其對偶多面體五角化十二面體

這種幾何形狀1970年墨西哥世界杯之後通常用於足球[3],並且會在六邊形塗上白色、五邊形塗上黑色。

目录

歷史编辑

這種形狀最早由李奧納多·達文西發現[4]阿尔布雷希特·丢勒也重現了一個類似十二面體的多面體,包含12個五角形和20個六角形面,但是沒有明確的文獻記錄[5][6]。自1970年墨西哥世界杯之後,足球的形狀皆採用截角二十面體。

性質编辑

截角二十面體是一種半正多面體,由五邊形六邊形組成,每個頂點都是兩個六邊形和一個五邊形的公共頂點,在頂點圖中可計為5.6.6,因此具有點可遞的性質。由於其可以藉由正二十面體透過截角變換,變換而成,因此稱為截角二十面體。由於此原因,截角二十面體在施萊夫利符號中可以用t{3,5}來表示,其中,t表示截角變換,{3,5}表示正二十面體(每個頂點都是五個三角形的公共頂點)。

 
截角二十面體

組成编辑

截角二十面體共有90條棱和60個頂點,正二十面體是由20個正三角形組成。把正二十面體的棱做三等分,則20個正三角形的面就得到了20個正六邊形;同時把正二十面體的所有12個頂點削去,則每個頂點由上述三等分點形成的正五邊形代替。這就形成了截角二十面體。由於正二十面體有20個正三角形的面,30條棱。每條棱做三等分則有2個分割點,由此削去正二十面體所有12個頂點後得到的截角二十面體有60個頂點。

 
正二十面體

面的組成编辑

截角二十面體由32個面組成,在這32個面中,共包含了12個正五邊形面和20個正六邊形面,其頂角皆為三面角,由2個六邊形和一個五邊形組成,換句話說,即每個頂點都是2個六邊形和一個五邊形的公共頂點,其頂點圖可以計為5.6.6。

 
頂點佈局英语Vertex_configuration5.6.6

尺寸编辑

若以a表示棱長,則截角二十面體的外接球半徑為

 

截角二十面體的體積表面積[7]

表面積: 
體積: 

頂點坐標编辑

邊長為2,幾何中心位於原點的截角二十面體,其頂點的坐標為:

(0, ±1, ±3φ)
(±1, ±(2 + φ), ±2φ)
(±2, ±(1 + 2φ), ±φ)

,其中φ = (1+√5)/2,黃金分割數;此時稜長為 2,外接球半徑為  

二面角编辑

截角二十面體有兩種二面角,一個為兩個六邊形的交角,另一個為五邊形與六邊形的交角[7]

其中,兩個六邊形的交角為:
 [7]
其中,五邊形與六邊形的交角為:
 [7]
另外,其兩個六邊形的共線與五邊形的交角為:
 
以及五邊形和六邊形的共線與鄰近的六邊形的交角為144°

正交投影编辑

截角二十面體有五種具有特殊對稱性的正交投影,分別是以頂點為中心、以邊為中心(兩種)、以六邊形面為中心以及以五邊形面為中心的正交投影。所述後者兩種正交投影,其對稱性對應於A2 和 H2的考克斯特平面[8]

正交投影
投影位置 頂點 五邊形-六邊形
六邊形-六邊形
六邊形面 五邊形面
圖像          
投影
對稱性
[2] [2] [2] [6] [10]
對偶          

球面鑲嵌编辑

截角二十面體也可以表示為球面鑲嵌,並通過球極投影,投影到平面上。 這個投影是一個等角頭影,雖然長度發生改變,但保留了角度資訊。 球面鑲嵌上的直線投影到了平面後成為了弧線。

   
以五邊形為中心
 
以六邊形為中心
正交投影 球極平面投影

應用编辑

截角二十面體的球面鑲嵌被運用在足球的形狀上[3]足球的模樣自1970年墨西哥世界杯之后为截角二十面體。在化學中也有一些分子的形狀為截角二十面體,如富勒烯C60

相關多面體與鑲嵌编辑

如果將其正六邊形的邊延長,將這些交點連起來,就得到一個正二十面體


截角二十面體是正二十面體經過截角變換後的結果,其他也是由正二十面體透過康威變換得到的多面體有:

正二十面体家族半正多面体
對稱群: [5,3], (*532) [5,3]+, (532)
                                               
               
{5,3} t0,1{5,3} t1{5,3} t0,1{3,5} {3,5} t0,2{5,3} t0,1,2{5,3} s{5,3}
半正多面体对偶
                                               
               
V5.5.5 V3.10.10 V3.5.3.5 V5.6.6 V3.3.3.3.3 V3.4.5.4 V4.6.10 V3.3.3.3.5


截角二十面體可視為一種截角的正球面鑲嵌——截角五階三角形鑲嵌。其他截角正鑲嵌幾何結構包含:

截角鑲嵌對稱性 *n32 的變種: n.6.6
Sym.
*n42
[n,3]
球面鑲嵌英语List of spherical symmetry groups 歐氏鑲嵌英语List_of_planar_symmetry_groups 緊湊雙曲 仿緊雙曲 非緊雙曲
*232
[2,3]
*332
[3,3]
*432
[4,3]
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]...
*∞32
[∞,3]
[12i,3] [9i,3] [6i,3]
截角鑲嵌圖                      
頂點英语Vertex configuration 2.6.6 3.6.6 4.6.6 5.6.6 6.6.6 7.6.6 8.6.6 ∞.6.6 12i.6.6 9i.6.6 6i.6.6
n-kis鑲嵌圖                
頂點英语Vertex configuration V2.6.6 V3.6.6 V4.6.6 V5.6.6 V6.6.6 V7.6.6 V8.6.6 V∞.6.6 V12i.6.6 V9i.6.6 V6i.6.6

部分均勻星形多面體和一個星形二十面體的凸包為非半正的截角二十面體:

凸包為截角二十面體的星形多面體
 
非半正截角二十面體
2 5 | 3
 
U37
2 5/2 | 5
 
U61英语Great dodecicosidodecahedron
5/2 3 | 5/3
 
U67英语Nonconvex great rhombicosidodecahedron
5/3 3 | 2
 
U73英语Great rhombidodecahedron
2 5/3 (3/2 5/4)
 
完全星形二十面體
 
非半正截角二十面體
2 5 | 3
 
U38英语Rhombidodecadodecahedron
5/2 5 | 2
 
U44
5/3 5 | 3
 
U56
2 3 (5/4 5/2) |
 
非半正截角二十面體
2 5 | 3
 
U32
| 5/2 3 3

在雙曲空間中,過截角五階十二面體堆砌(Truncated order-5 dodecahedral honeycomb)由截角二十面體獨立堆砌而成,在考克斯特記號中,計為       ,其頂點圖為鍥形體

 

截角二十面體圖编辑

截角二十面體圖
 
6邊形置中心的施萊格爾圖英语Schlegel_diagram
顶点 60
90
自同构群 120
色数 3
属性 立方體英语Cubic graph, 哈密顿, 正則, 零對稱性英语Zero-symmetric graph

在圖論的數學領域中,截角二十面體圖是阿基米得立體中截角二十面體之邊與頂點的圖英语n-skeleton。共有60個頂點和90條稜,且是立方體英语Cubic graph阿基米德圖英语Archimedean graph[9][10][11][12]

正射投影
 
5-fold symmetry
 
5邊形置中心的施萊格爾圖英语Schlegel_diagram

參見编辑

參考文獻编辑

  1. ^ Cromwell, P. Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999). Ch.2 p.79-86 Archimedean solids
  2. ^ Magnus Wenninger英语Magnus J. Wenninger, Spherical Models, Cambridge University Press, 1979, ISBN 978-0-521-29432-4, MR 552023, (原始内容存档于2008-07-04) (英语)  Reprinted by Dover 1999 ISBN 978-0-486-40921-4
  3. ^ 3.0 3.1 Kotschick, Dieter. The Topology and Combinatorics of Soccer Balls. American Scientist. 2006, 94 (4): 350–357. doi:10.1511/2006.60.350. 
  4. ^ Saffaro, L. Cosmoids, Fullerenes and continuous polygons. (编) Taliani, C.; Ruani, G.; Zamboni, R. Proceedings of the First Italian Workshop on Fullerenes: States and Perspectives 2. Singapore: World Scientific. 1992: 55. ISBN 9810210825 (英语). 
  5. ^ Durer, A. German artist who made an early model of a regular truncated icosahedron. 1471–1528. 
  6. ^ Dresselhaus, M. S.; Dresselhaus, G.; Eklund, P. C. Science of fullerenes and carbon nanotubes. San Diego, CA: Academic Press. 1996. ISBN 012-221820-5. 
  7. ^ 7.0 7.1 7.2 7.3 Archimedean Solids: Truncated Icosahedron. dmccooey.com. 
  8. ^ Coxeter Planes and More Coxeter Planes 約翰·史坦布里奇英语John Stembridge
  9. ^ Read, R. C.; Wilson, R. J., An Atlas of Graphs, Oxford University Press: 268, 1998 
  10. ^ 埃里克·韦斯坦因. Truncated icosahedral graph. MathWorld. 
  11. ^ Godsil, C. and Royle, G. Algebraic Graph Theory New York: Springer-Verlag, p. 211, 2001
  12. ^ Kostant, B. The Graph of the Truncated Icosahedron and the Last Letter of Galois. Notices Amer. Math. Soc. 42, 1995, pp. 959-968 PDF
參考書目
  1. Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X.  (Section 3-9)
  2. Cromwell, P. Polyhedra. United Kingdom: Cambridge. 1997: 79–86 Archimedean solids. ISBN 0-521-55432-2. 

外部連結编辑