截角十二面体

幾何學中,截角十二面體是一種由正十邊形正三角形組成的三十二面體[1],是一種阿基米德立體[2]。其每個頂點都是1個三角形和2個十邊形的公共頂點,具有每個頂角相等的性質,因此截角十二面體是一種半正多面體[3]

截角十二面体
截角十二面体
(按這裡觀看旋轉模型)
類別半正多面體
對偶多面體三角化二十面體在维基数据编辑
識別
名稱截角十二面体
參考索引U26, C29, W10
鮑爾斯縮寫
verse-and-dimensions的wikiaBowers acronym
tid在维基数据编辑
數學表示法
考克斯特符號
英语Coxeter-Dynkin diagram
CDW ring.pngCDW 5.pngCDW ring.pngCDW 3.pngCDW dot.png
施萊夫利符號t{5,3}在维基数据编辑
威佐夫符號
英语Wythoff symbol
2 3 | 5
康威表示法tD在维基数据编辑
性質
32
90
頂點60
歐拉特徵數F=32, E=90, V=60 (χ=2)
組成與佈局
面的種類正三角形
正十邊形
面的佈局
英语Face configuration
20個{3}
12個{10}
頂點圖3.10.10
對稱性
對稱群Ih
特性
-
圖像
立體圖 Truncated dodecahedron vertfig.png
3.10.10
頂點圖
Triakisicosahedron.jpg
三角化二十面體
對偶多面體
Truncated dodecahedron flat.png
展開圖

性質编辑

截角十二面體共有32個面、90條邊和60個頂點[4],每個頂點都是1個三角形和2個十邊形的公共頂點,其頂點圖可以用3.10.10來表示,也可以簡寫為3.102[5]

構造编辑

截角十二面體可以經由正十二面體透過截角變換構造而成。截角變換使得正十二面體原本的正五邊形面變成正十邊形面,並在原本的頂點處形成正三角形

體積與表面積编辑

邊長為a的截角十二面體體積V和表面積A分別為:

 
 

頂點坐標编辑

邊長為2φ − 2且幾何中心位於原點的截角十二面體[6]其頂點坐標[7]

 
 
(±φ, ±2, ±(φ + 1))

其中φ =  ,為黃金比例.

球面鑲嵌和施萊格爾圖编辑

截角十二面体對應的結構也可以構建成球面鑲嵌,並以球極平面投影的方式呈現。

正投影圖英语Orthographic projection 球極平面投影
   
以十邊形為中心
 
以正三角形為中心
透視圖 施萊格爾圖
     

頂點佈局编辑

有一些多面體與截角十二面體具有相同的頂點佈局英语Vertex_arrangement,換句話說,及他們與截角十二面體共用頂點、或者可以具有相同的頂點坐標。這些多面體有[8][9][10]

 
截角十二面體(原像
 
大二十合二十合十二體英语Great icosicosidodecahedron
 
大雙三角十二面截半二十面體
 
大十二合二十面体英语Great dodecicosahedron

相關多面體及密鋪编辑

截角二十面體是正二十面體經過截半變換後的結果,其他也是由正二十面體透過康威變換得到的多面體有:

正二十面体家族半正多面体
對稱群: [5,3]英语Icosahedral symmetry, (*532) [5,3]+, (532)
                                               
               
{5,3} t0,1{5,3} t1{5,3} t0,1{3,5} {3,5} t0,2{5,3} t0,1,2{5,3} s{5,3}
半正多面体对偶
                                               
               
V5.5.5 V3.10.10 V3.5.3.5 V5.6.6 V3.3.3.3.3 V3.4.5.4 V4.6.10 V3.3.3.3.5


截角二十面體可以獨立填滿雙曲仿緊三維空間,這種由幾何結構稱為截角十二面體堆砌[11]

 

參見编辑

參考文獻编辑

  1. Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X.  (Section 3-9)
  2. Cromwell, P. Polyhedra. United Kingdom: Cambridge. 1997: 79-86 Archimedean solids. ISBN 0-521-55432-2. 
  1. ^ Weisstein, Eric W. (编). Truncated Dodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  2. ^ Cromwell, P. Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999). Ch.2 p.79-86 Archimedean solids
  3. ^ Kasahara, K. "The Final Semiregular Polyhedron". Origami Omnibus: Paper-Folding for Everyone.. Tokyo: Japan Publications. 1988: p. 229. ISBN 978-4817090010. 
  4. ^ Geometry Technologies. "Truncated Dodecahedron.". scienceu. [2016-08-30]. (原始内容存档于2016-08-06). 
  5. ^ Cundy, H. and Rollett, A. "Truncated Dodecahedron. 3.102." §3.7.9 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., p. 109, 1989. ISBN 978-0906212202
  6. ^ Weisstein, Eric W. (编). Icosahedral group. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  7. ^ Archimedean Solids: Truncated Dodecahedron. dmccooey.com. (原始内容存档于2016-03-12). 
  8. ^ Weisstein, Eric W. (编). 大二十合二十合十二體. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  9. ^ Weisstein, Eric W. (编). 大二重三角十二面截半二十面體. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  10. ^ Weisstein, Eric W. (编). 大十二合二十面體. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  11. ^ N.W. Johnson英语Norman Johnson (mathematician): The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966

外部連結编辑