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拉普拉斯算子

數學以及物理中,拉普拉斯算子或是拉普拉斯算符英语:Laplace operator, Laplacian)是由欧几里得空间中的一個函数的梯度散度给出的微分算子,通常寫成

這名字是為了紀念法国数学家皮耶-西蒙·拉普拉斯(1749–1827)而命名的。他在研究天体力学在數學中首次应用算子,当它被施加到一个给定的重力位(Gravitational potential)的时候,其中所述算子给出的质量密度的常数倍。經拉普拉斯算子運算為零∆f=0的函數稱為调和函数,现在称为拉普拉斯方程,和代表了在自由空间中的可能的重力场。

拉普拉斯算子有許多用途,此外也是椭圆算子中的一個重要例子。

拉普拉斯算子出现描述许多物理现象的微分方程里。例如,常用於波方程數學模型熱傳導方程流体力学以及亥姆霍茲方程。在靜電學中,拉普拉斯方程泊松方程的應用隨處可見。在量子力學中,其代表薛丁格方程式中的動能項。

拉普拉斯算子是最简单的椭圆算子,并且拉普拉斯算子是霍奇理論的核心,並且是德拉姆上同調的結果。在图像处理计算机视觉中,拉普拉斯算子已经被用于诸如斑点检测英语Blob detection边缘检测等的各种任务。

目录

定义编辑

拉普拉斯算子是 n欧几里得空间中的一个二阶微分算子,其定义为對函數   先作梯度運算( )後,再作散度運算( )的結果。因此如果  二阶可微实函数,则   的拉普拉斯算子定义为:

  ── (1)

  的拉普拉斯算子也是笛卡儿坐标系   中的所有非混合二阶偏导数

  ── (2)

作为一个二阶微分算子,对于k ≥ 2,拉普拉斯算子把Ck函数映射到Ck-2函数。表达式((1)或(2))定义了一个算子Δ:Ck(Rn)→ Ck-2(Rn),或更一般地,定义了一个算子Δ:Ck(Ω)→ Ck-2(Ω),对于任何开集Ω。

函数的拉普拉斯算子也是该函数的海森矩阵

 

坐標表示式编辑

二維空間编辑

 
其中xy代表x-y平面上的笛卡兒坐標
另外極坐標的表示法為:
 

三維空間编辑

笛卡兒坐標系下的表示法
 
圓柱坐標系下的表示法
 
球坐標系下的表示法
 

N维空间编辑

在参数方程为 (其中 以及 )的 维球坐标系中,拉普拉斯算子为:

 

其中  维球面上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子。我们也可以把 的项写成 

恒等式编辑

  • 如果fg是两个函数,则它们的乘积的拉普拉斯算子为:
 

f是径向函数 g球谐函数 ,是一个特殊情况。这个情况在许多物理模型中有所出现。 的梯度是一个径向向量,而角函数的梯度与径向向量相切,因此:

 

球谐函数还是球坐标系中的拉普拉斯算子的角部分的特征函数:

 

因此:

 

推广编辑

复杂空间上的实值函数编辑

拉普拉斯算子可以用一定的方法推广到非欧几里得空间,这时它就有可能是椭圆型算子双曲型算子,或超双曲型算子

闵可夫斯基空间中,拉普拉斯算子变为达朗贝尔算子

 

达朗贝尔算子通常用来表达克莱因-戈尔登方程以及四维波动方程。第四个项前面的符号是负号,而在欧几里德空间中则是正号。因子c是需要的,这是因为时间和空间通常用不同的单位来衡量;如果x方向用寸来衡量,y方向用厘米来衡量,也需要一个类似的因子。

值域爲复杂空间编辑

向量值函數的拉普拉斯算子编辑

拉普拉斯算子作用在向量值函數上,其結果被定義爲一個向量,這個向量的各個分量分別爲向量值函數各個分量的拉普拉斯,卽

 

更一般地,對沒有坐標的向量,我們用下面的方式定義(受向量恒等式的啓發):

 ,也可用類似于拉普拉斯-德拉姆算子的方式定義,然後證明“旋度的旋度”向量恒等式.

拉普拉斯-贝尔特拉米算子编辑

拉普拉斯算子也可以推广为定义在黎曼流形上的椭圆型算子,称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子。达朗贝尔算子则推广为伪黎曼流形上的双曲型算子。拉普拉斯–贝尔特拉米算子还可以推广为运行于张量场上的算子(也称为拉普拉斯–贝尔特拉米算子)。

另外一种把拉普拉斯算子推广到伪黎曼流形的方法,是通过拉普拉斯–德拉姆算子,它作用在微分形式上。这便可以通过外森比克恒等式来与拉普拉斯–贝尔特拉米算子联系起来。

参考文献编辑

  • Feynman, R, Leighton, R, and Sands, M. Chapter 12: Electrostatic Analogs. The Feynman Lectures on Physics. Volume 2. Addison-Wesley-Longman. 1970. 
  • Gilbarg, D and Trudinger, N. Elliptic partial differential equations of second order. Springer. 2001. ISBN 978-3540411604. 
  • Schey, H. M. Div, grad, curl, and all that. W W Norton & Company. 1996. ISBN 978-0393969979. 

外部連結编辑