拉普拉斯-德拉姆算子

我们可以在微分流形外代数上定义一个拉普拉斯微分算子。在黎曼流形上它是一个椭圆型算子,而在洛伦兹流形上是双曲型的。拉普拉斯–德拉姆算子(Laplace-de Rham operator)定义为

这里 d 是外导数而 δ 是余微分。当作用在数量函数上,余微分可以定义为 δ = −d,这里 霍奇星算子;更一般地,余微分可能包含与所作用的 k-形式的阶数有关的一个符号。

可以证明拉普拉斯–德拉姆算子作用在数量函数 f 上时与前面的拉普拉斯–贝尔特拉米算子定义相同;细节参见证明。注意拉普拉斯–德拉姆算子事实上是负拉普拉斯–贝尔特拉米算子;这个符号来自定义余微分的习惯。不幸的是,两者都用 Δ 表示,经常成为混乱之源。

性质编辑

给定数量函数 fh,以及一个实数 a,拉普拉斯–德拉姆算子有如下性质:

  1.  
  2.      (证明)