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拉格朗日定理 (群論)

拉格朗日定理群論的定理,利用陪集證明了子群的階一定是有限的階的因數值。

定理编辑

叙述:设H是有限G的子群,则H的整除G的阶。

定理的证明是运用H在G中的左陪集。H在G中的每个左陪集都是一个等价类。将G作左陪集分解,由于每个等价类的元素个数都相等,都等于H的元素个数(H是H关于e的左陪集),因此H的阶(元素个数)整除G的阶,商是H在G中的左陪集个数,叫做H对G的指数,记作[G:H]。

陪集的等价关系编辑

定义二元关系  。下面证明它是一个等价关系

  1. 自反性: 
  2. 对称性: ,因此 ,因此 
  3. 传递性: ,因此 ,因此 

可以证明, 。因此左陪集是由等价关系 确定的等价类。

拉格朗日定理说明,如果商群G / H存在,那么它的阶等于H对G的指数[G:H]。

 

上述写法在G为无限群时也成立。

推论编辑

1. 由拉格朗日定理可立即得到:由有限群G中一个元素a的阶数整除群G的阶(考虑由a生成的循环群)。

2. 如果 是质数,那么所有阶数为 的群都同构(因为素数只有1和它本身为约数)。

逆命题编辑

拉格朗日定理的逆命题并不成立。给定一个有限群G和一个整除G的阶的整数dG并不一定有阶数为 d的子群。最简单的例子是4次交替群A4,它的阶是12,但对于12的因数6,A4没有6阶的子群。对于这样的子群的存在性,柯西定理西洛定理给出了一个部分的回答。

参见编辑