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拉格朗日方程式

約瑟夫·拉格朗日

拉格朗日方程式Lagrange equation),因數學物理學家约瑟夫·拉格朗日而命名,是分析力學的重要方程式,可以用來描述物體的運動,特別適用於理論物理的研究。拉格朗日方程式的功能相等於牛頓力學中的牛頓第二定律

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定義编辑

假設一個物理系統符合完整系統的要求,即所有廣義座標都互相獨立,則拉格朗日方程式成立:

 

其中, 拉格朗日量 是廣義座標,是時間 的函數, 廣義速度

導引编辑

分析力學裏,有三種方法可以導引出拉格朗日方程式。最原始的方法是使用達朗貝爾原理導引出拉格朗日方程式(參閱達朗貝爾原理);更進階層面,可以從哈密頓原理推導出拉格朗日方程式(參閱哈密頓原理);最簡明地,可以借用數學變分法歐拉-拉格朗日方程式來推導:

設定函數  

 
 
 

其中, 自變數independent variable)。

 使泛函 取得局部平穩值,則在區間 內,歐拉-拉格朗日方程式成立:

 

現在,執行下述轉換:

  • 設定獨立變數 為時間 
  • 設定函數 為廣義坐標 
  • 設定泛函 為拉格朗日量 

則可得到拉格朗日方程式

 
  • 為了滿足這轉換的正確性,廣義坐標必須互相獨立,所以,這系統必須是完整系統。
  • 拉格朗日量是動能減去位勢,而位勢必須是廣義位勢。所以,這系統必須是單演系統。

半完整系統编辑

主項目:參閱半完整系統

一個不是完整系統的物理系統是非完整系統,不能用上述形式論來分析。假若,一個非完整系統的約束可以以方程式表示為

 

則稱此系統為半完整系統[1]

半完整系統可以用拉格朗日形式論來分析。更具體地說,分析半完整系統必須用到拉格朗日乘子 

 

其中, 是未知函數。

由於這 個廣義坐標中,有 個相依的廣義坐標,泛函 不能直接被轉換為拉格朗日量 ;必須加入拉格朗日乘子,將泛函 轉換為 。這樣,可以得到拉格朗日廣義力方程式:

 

其中, 廣義力 

 個廣義力運動方程式加上 個約束方程式,給出 個方程式來解 個未知廣義坐標與 個拉格朗日乘子。

實例编辑

這個段落會展示拉格朗日方程式的兩個應用實例。第一個實例展示出,用牛頓方法與拉格朗日方法所得的答案相同。第二個實例展示出拉格朗日方法的威力,因為這問題比較不適合用牛頓方法來分析。

自由落體编辑

思考一個粒子從靜止狀態自由地下落。由於重力 作用於此粒子,應用牛頓第二定律,可以得到運動方程式

 

其中,x-坐標垂直於地面,由初始點(原點)往地面指。

這個結果也可以從拉格朗日形式論得到。動能 

 

位勢 

 

所以,拉格朗日量 

 

 代入拉格朗日方程式,

 

運動方程式是

 

與牛頓方法的運動方程式相同。

具有質量的移動支撐點的簡單擺编辑

思考一個簡單擺系統。系統的x-軸平行於地面,y-軸垂直於x-軸,指向地面。擺錘P的質量是 ,位置是 。擺繩的長度是 。擺的支撐點Q的質量是 。這支撐點Q可以沿著一條平行於x-軸的直線移動。點Q的位置是 。擺繩與y-軸的夾角是 。那麼,動能是

 

位勢為

 

所以,拉格朗日量是

 

兩個約束方程式為

 
 

將約束方程式代入拉格朗日量方程式,

 

特別注意,在這裏,廣義坐標是  。應用拉格朗日方程式,經過微分運算,對於 坐標,可以得到

 

運動方程式為

 

由於拉格朗日量不顯含廣義坐標 ,稱 可略坐標,而其相對應的廣義動量 是常數 

 

對於 坐標,可以得到

 

所以,運動方程式為

 

假如用牛頓第二定律,則必須仔細地辨明所有的相關作用力。這是一項既困難又容易出錯的工作。

相關條目编辑

參考文獻编辑

  1. ^ Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 46–47. ISBN 0201657023 (英语).