拉梅函数

拉梅函数(Lame functions)是下列拉梅方程的解:[1][2][3]

Lame function Maple animation plot
雅可比形式

+ 此拉梅方程的正则奇点在复数平面的 其中 p,q ∈Z,K代表模数为k的完全椭圆积分,K'代表模数为的完全椭圆积分。

其中 k,v 都是实数,并且 ,

代数形式

作雅可比橢圓函數变数替换得拉梅方程的代数形式:

,

此傅克型方程有四个正则奇点

魏尔斯特拉斯形式[3]

其中魏尔斯特拉斯函数

三角函数形式

在雅可比形式的拉梅方程中做代换[4]

可得

在上列方程组 等是实数或复数常数,而各变量为复数。

拉梅方程的本征值编辑

对于给定的参数v,k,存在四套实数本征值h,令拉梅方程的奇数解或偶数解有2K或4K周期[5]

本征值 h 奇偶 周期
  2K
  4K
  4K
  2K

拉梅函数编辑

与每一个本征值对应的本征函数,称为v阶拉梅函数,其记法及周期性列表于下:[6]

本征值 h 奇偶 周期 本征函数(拉梅函数)
  2K  
  4K  
  4K  
  2K  

其中 代表在(0,2K)区间内的零点数。

拉梅函数是Heun函数的特例编辑

Heun方程  


令= 

则化为拉梅方程

 

拉梅方程的Heun函数解编辑

由于拉梅方程式是Heun方程的特例,因此拉梅方程可以用HeunG函数表示[7] 

  其中二个HeunG函数是线性无关的。

拉梅函数的幂级数展开编辑

拉梅函数可以展开成幂级数形式[8]


 

其中 只能取 

例子

 

参考文献编辑

  1. ^ 王竹溪 第572页
  2. ^ Whittaker p554
  3. ^ 3.0 3.1 Erdelyi p55
  4. ^ Erdelyi p 56
  5. ^ Frank Oliver p685
  6. ^ Frank, p684
  7. ^ Frank Oliver,p713
  8. ^ 王竹溪 第573页
  • 王竹溪 郭敦仁 《特殊函数概论》 北京大学出版 2000
  • Whittaker and Watson, A Course of Modern Analysis 1920, Cambridge University Press
  • Erdelyi, Higher Transcendental Functions Vol III