數學中,拉開(法文:éclatement,英文:blowing up)、單項變換σ-過程是一種幾何的操作,代數幾何中的應用尤重。拉開是雙有理幾何的基本工具。對代數簇複流形 上一點 的拉開是將該點換為該點法叢射影叢,或者具體地說是換為該點切空間的射影空間,從而得到拉開態射 ,這是一個雙有理等價。對較高維子流形也能定義拉開。

當代代數幾何學將拉開視為對概形的內在操作,然而拉開也有外在的描述法,例如取一平面曲線,並對它所處的射影平面作某類變換;這是古典的進路,其想法至今仍反映於用語上。

對仿射空間中一點作拉開编辑

以下僅考慮複數  上的情形,一般構造準此可知。

  為複仿射空間   的原點,仿射空間的元素以坐標表為  。令   -維複射影空間,其元素以齊次坐標表示為  。 令    中由等式   定義之閉子集,其中  。則投影態射

 

自然地導出態射(特別也是全純函數

 

此態射  (或者更常指空間  )稱為  拉開

例外除數   定義為   對態射   的逆像。可以證明

 

同構於射影空間。它是個非負除數,而且在   之外   是同構。因此     之同構。

對複流形的子流形作拉開编辑

一般來說,我們可以開任何餘維為   的複子流形  。設   由方程式  定義,並設    上的齊次坐標。沿   的拉開   定義為方程  (對所有   )在空間   中定義的閉子集。

進一步推廣,我們可拉開任何複流形   的任一複子流形  ,方式是局部上化約到上述情形,拉開後再予以黏合。效果依然,我們將   拉開為例外除子  。而拉開態射

 

依然是雙有理的,並在   外是同構。   可自然地視作  法叢的射影化,因此   局部上是纖維化映射,其纖維為  

由於   是平滑除子,其法叢為線叢。對於曲面的情形,可證明   的自相交數為負,這表明其法叢沒有整體上定義的截面。  是其同調類在   上的唯一代表,原因在於:假設   經擾動後變為代表同一同調類的另一個複子流形,則它和   的相交數必為正,故矛盾。這是例外除子之所以「例外」之故。

  維某個   中不等於   的複子流形。若   不交  ,則它本質上不受沿   的拉開影響。然而若有相交,則    中導出兩個幾何對象:一者是真變換或稱嚴格變換,它是    中的閉包,其法叢一般與   的不同。另一者是全變換,包含   的全體或一部分,其同調類基本上是  上同調類之拉回。

推廣:概形的拉開编辑

拉開可以在一般的概形上定義。令   為一概形,並設   為其上一凝聚理想層,  沿   的拉開是概形  真態射

 

使得  可逆層,此拉開由下述泛性質刻劃:

對任何態射  ,若它使得   是可逆層,則   唯一地透過   分解。

此拉開可具體地由

 

構造。當  擬射影概形時,  將是射影態射

重要性質编辑

與有理映射的關係编辑

與奇點解消的關係编辑

曲面的拉開编辑

在平滑的射影曲面上,任何雙有理等價皆可分解為一系列的拉開與縮回。

以下的 Grauert-Mumford 定理是曲面分類中的基本工具:

定理 . 設   為平滑射影曲面,   上一個既約除數,若其相交矩陣   負定,則   可表成某個代數曲面的拉開,使得   為其例外除數。

相交理論编辑

相關的建構编辑

向法錐變形编辑

向法錐變形的技術可以證明代數幾何中的許多結果。給定一個概形   及其閉子概形  ,我們在   中拉開  ,則

 

是纖維化映射。沿著   的一般纖維自然同構於  ,而中心纖維則是兩個概形的并集:一者是   沿   的拉開;另一者則是   的法錐,其中我們將纖維緊化為射影空間。

辛流形的拉開编辑

拉開也可以在辛流形範疇中施行,稱作辛拉開。方式是將辛流形賦予殆複結構,然後仿照複拉開的模式。然而這僅在拓撲層次上有意義,我們必須小心地為拉開後的空間賦予一個辛形式,因為我們不能任意將辛形式沿例外除數   延拓,而必須在   的一個鄰域上修改之;或藉著將   的一個開鄰域切下,然後適當地折疊邊界以完成拉開。較好的理解方式是利用辛切割的一般理論,其中辛拉開只是個特例。辛切割及其逆操作辛和是沿一平滑除數向法錐變形的類比。

文獻编辑