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拐点

(重定向自拐點
y=x3的函數圖形,原點是其拐點
反正切函數的拐點

拐點(Inflection point)或稱反曲点,是一條连续曲線改變凹凸性的點,或者等價地說,是使切線穿越曲線的點。

決定曲線的拐點有助於理解曲線的外形,這在描繪曲線圖形時特別有用。

定義编辑

若曲線圖形在一點由凸轉凹,或由凹轉凸,則稱此點為拐點。直觀地說,拐點是使切線穿越曲線的點。

若該曲線圖形的函數在某点的二阶導數為零或不存在,且二阶导数在该点两侧符号相反,该点即为函数的拐点。這是尋找拐點時最實用的方法之一。

拐点的充要条件编辑

拐点的必要条件:设  内二阶可导, ,若 是曲线 的一个拐点,则 。 比如, ,有 ,但是0两侧全是凸,所以0不是函数 的拐点。

拐点的充分条件:设  内二阶可导, ,若在 两侧附近 异号,则点 为曲线的拐点。否则(即 保持同号), 不是拐点。

分類编辑

拐點可以根據 為零或不為零,進行分類:

  • 如果 為零,此點為拐點的驻点,簡稱為鞍點
  • 如果 不為零,此點為拐點的非驻点

例如: 的點 是一個鞍點,切線為 軸,切線正好將圖像分為兩半。

參數曲線的拐點编辑

平面參數曲線的拐點是使其曲率變號的點,此時曲率中心(居於曲線凹側)從曲線的一側換至另一側。

雙正則點與拐點编辑

雙正則點是使得參數曲線的一階與二階微分(它們是向量)線性獨立的點。在雙正則點上,曲線既無拐點亦非直線。在非雙正則點上曲率為零,但是不一定有變號。在尋找參數曲線的拐點時,我們通常先以微分找出非雙正則點,繼之研究其局部性狀,以判定是否為拐點。

:某些作者偏好將拐點定義為「使一階與二階微分平行的點」,在此定義下,切線不一定在該點穿越曲線本身。

代數曲線的拐點编辑

  上的平面代數曲線,其拐點定義為一平滑點 ,使得該點切線   點的相交重數 

注意到一條曲線與  點相切的充要條件是相交重數 。當 時,代數曲線的拐點定義等價於上節註記中的廣義定義。

参见编辑

文獻编辑