# 指数函数

## 概要

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

${\displaystyle \exp(x)=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}$

${\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y)}$

## 形式定义

${\displaystyle e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots }$

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{x \over n}\right)^{n}.}$

${\displaystyle x\geq 0}$ 是確定的非負實數。定義

${\displaystyle t_{n}=\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n},\ s_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {x^{k}}{k!}}.}$

{\displaystyle {\begin{aligned}t_{n}&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {x^{k}}{n^{k}}}=1+x+\sum _{k=2}^{n}{\frac {n(n-1)(n-2)\cdots [n-(k-1)]x^{k}}{k!\,n^{k}}}\\[8pt]&=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)+{\frac {x^{3}}{3!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)+\cdots \\[8pt]&{}\qquad \cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {n-1}{n}}\right)\leq s_{n}\end{aligned}}}

（設${\displaystyle x\geq 0}$ 得到最終的不等式）故此

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }t_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }s_{n}=e^{x}}$

## 性质

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}$

${\displaystyle \!\,e^{0}=1}$
${\displaystyle \!\,e^{1}=e}$
${\displaystyle \!\,e^{x+y}=e^{x}e^{y}}$
${\displaystyle \!\,e^{xy}=\left(e^{x}\right)^{y}}$
${\displaystyle \!\,e^{-x}={1 \over e^{x}}}$

${\displaystyle \!\,b^{x}=(e^{\ln b})^{x}=e^{x\ln b}.}$

${\displaystyle b^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{b^{m}}}.}$

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=x^{\frac {1}{n}}=e^{\frac {\ln x}{n}}.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}b^{x}=\lim _{h\to 0}{\frac {b^{x+h}-b^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {b^{x}b^{h}-b^{x}}{h}}=b^{x}\left(\lim _{h\to 0}{\frac {b^{h}-1}{h}}\right).}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}=\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n-1}.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.}$

## 导数和微分方程

${\displaystyle {d \over dx}e^{x}=e^{x}}$

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}e^{x}&={\frac {d}{dx}}\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nx^{n-1}}{n!}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n-1}}{(n-1)!}}\\[6pt]&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}},{\text{ where }}k=n-1\\[6pt]&=e^{x}\end{aligned}}}

• 函数的图像的在任何一点上的斜率是这个函数在这一点上的高度。
• 函数在${\displaystyle x}$ 的增长速率等于在这个函数在${\displaystyle x}$ 上的值。
• 这个函数是微分方程${\displaystyle y'=y}$ 的解。
• exp是泛函导数不动点

${\displaystyle {d \over dx}b^{x}=(\ln b)b^{x}}$

${\displaystyle {d \over dx}e^{f(x)}=f'(x)e^{f(x)}}$ .

## .mw-parser-output .serif{font-family:Times,serif}ex的连分数

${\displaystyle e^{x}=1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {x}{x+2-{\cfrac {2x}{x+3-{\cfrac {3x}{x+4-\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle e^{z}}$ 廣義連分數收斂更快速:[14]

${\displaystyle e^{z}=1+{\cfrac {2z}{2-z+{\cfrac {z^{2}}{6+{\cfrac {z^{2}}{10+{\cfrac {z^{2}}{14+\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle e^{\frac {x}{y}}=1+{\cfrac {2x}{2y-x+{\cfrac {x^{2}}{6y+{\cfrac {x^{2}}{10y+{\cfrac {x^{2}}{14y+\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle e^{2}=1+{\cfrac {4}{0+{\cfrac {2^{2}}{6+{\cfrac {2^{2}}{10+{\cfrac {2^{2}}{14+\ddots \,}}}}}}}}=7+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{11+\ddots \,}}}}}}}}}$

## 在複平面上

${\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}$

${\displaystyle e^{z}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}}$

${\displaystyle \!\,e^{a+bi}=e^{a}(\cos b+i\sin b)}$

• ${\displaystyle \!\,e^{z+w}=e^{z}e^{w}}$
• ${\displaystyle \!\,e^{0}=1}$
• ${\displaystyle \!\,e^{z}\neq 0}$
• ${\displaystyle \!\,{d \over dz}e^{z}=e^{z}}$
• ${\displaystyle \,(e^{z})^{n}=e^{nz},n\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \!\,z^{w}=e^{w\ln z}}$

${\displaystyle (e^{z})^{w}\neq e^{zw}}$ ，而是 ${\displaystyle (e^{z})^{w}=e^{(z+2\pi in)w}\,}$  多值於整數n 之上。

## 矩阵和巴拿赫代数

${\displaystyle \ e^{x+y}=e^{x}e^{y}{\mbox{ if }}xy=yx}$
${\displaystyle \ e^{0}=1}$
${\displaystyle \ e^{x}}$ ${\displaystyle \ e^{-x}}$ 是互倒的
${\displaystyle \ e^{x}}$ 在点${\displaystyle \ x}$ 的导数是从${\displaystyle \ u}$ ${\displaystyle \ ue^{x}}$ 的线性映射。

${\displaystyle \ f(t)=e^{tA}}$

${\displaystyle \ f(s+t)=f(s)f(t)}$
${\displaystyle \ f(0)=1}$
${\displaystyle \ f'(t)=Af(t)}$

## 註釋與引用

1. John J O'Connor; Edmund F Robertson. The number e. School of Mathematics and Statistics. University of St Andrews, Scotland. [2011-06-13]. （原始内容存档于2015-09-08）.
2. ^ 假定利率為100%，借期1年本息合為200%，利息平均每月約8.3%。按複利可以只借1個月，1個月未能還款，本息合計為借款，如此1年下來本息合計約為261.3%。如果借貸者能在1個月內歸還，則不需要付1整年的利息，放貸者快速收回資金可以借給他人；拖到1年歸還，放貸者得到比正常放貸1年要高的利息；1年後按複利計算本息快速增長，借貸者可能就還不起了，而放貸者獲得抵押品。甚至可以逐日借款，這樣1年的收益高於261.3%，但增大不多，而借貸者可以更快還清少付利息，e 就是設立更小還款時限增加獲利，能達到的1年極限收益，即約為 271.8%。應區分抵押貸款高利貸
3. ^ Eli Maor, e: the Story of a Number, p.156.
4. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}=\lim _{n\to \infty }\left(\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right)^{x}}$
前者成為定義因其有導數上的重要性質。
5. ^ Ernest William Hobson, John Napier and the invention of logarithms, 1614, Cambridge: The University Press, 1914
6. ^ Boyer, Carl B., 14, section "Jobst Bürgi", A History of Mathematics, New York: John Wiley & Sons, 1991, ISBN 978-0-471-54397-8
7. ^ ${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{x}=\left(\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right)^{\frac {x}{n}}}$
在最初的概念下，底數是接近1的數，而對數是整數；經過簡單變換後，底數變大了，成為接近數學常量e的數，而對數變小了，成為 x/n。
8. ^ 選取接近e的底數b，對數表涉及的bx為單調增函數，定義域為0到1而值域為1到b；選取接近1/e的底數b，對數表涉及的bx為單調減函數，定義域為0到∞而值域為1到0。
9. ^ ${\displaystyle 10^{\frac {1}{2^{54}}}}$ 這個接近1的數為基礎。
10. ^ Kline, M. (1998) Calculus: An intuitive and physical approach, section 12.3 "The Derived Functions of Logarithmic Functions."页面存档备份，存于互联网档案馆）, pp. 337 ff, Courier Dover Publications, 1998, ISBN 0-486-40453-6
11. ^ {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}\left(b^{h}-1\right){\frac {1}{h}}&=\lim _{{\frac {1}{n}}\to 0}\left(b^{\frac {1}{n}}-1\right)n\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }n(b^{1/n}-1)\\&=\ln(b).\\\end{aligned}}}
這裡的自然對數定義為歐拉提出，是他定義的指數函數的逆函數
12. ^ ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}={\frac {n}{n+x}}\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$
這個函數的導數與函數值的比為 n/(n+x)，當n→∞時， n/(n+x)=1，等式兩端就是指數函數的導數和指數函數。
13. ^ 通过${\displaystyle y(t)=e^{t},y(0)=K}$ ${\displaystyle f(t,y(t))=y(t)}$
14. ^ "A.2.2 The exponential function." L. Lorentzen and H. Waadeland, Continued Fractions, Atlantis Studies in Mathematics, page 268.. [2014-03-11]. （原始内容存档于2021-03-08）.

### 证明

1. ^ ${\displaystyle e^{i\pi }=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {\pi }{n}}i\right)^{n}}$ ${\displaystyle \left(1+{\frac {\pi }{n}}i\right)^{n}}$ 極限形式：

故有歐拉恆等式${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.\,\!}$