指数分布

機率分布

機率論統計學中,指數分布(英語:Exponential distribution)是一種連續機率分佈。指數分布可以用来表示獨立隨機事件發生的時間間隔,比如旅客進入機場的時間間隔、電話打進客服中心的時間間隔、中文維基百科新條目出現的時間間隔、機器的壽命等。

指數分配
机率密度函数
概率密度函數
累積分配函數
累積分布函數
参数
值域
概率密度函数
累積分布函數
期望值
中位數
眾數
方差
偏度
峰度
矩生成函数
特徵函数

記號编辑

指數分布即形狀母數α為1的伽瑪分布

若隨機變數 服从母數為  的指数分布,則記作

  

兩者意義相同,只是  互為倒數關係。只要將以下式子做 的替換即可,即,指數分布之機率密度函數為:

 

 


累积分布函数為:

 

 


其中λ > 0是分布的母數,即每单位时间发生该事件的次数; β 為比例母數,即該事件在每單位時間內的發生率。兩者常被称为率参数(rate parameter)。指数分布的区间是[0,∞)。

特性编辑

期望值与變異數编辑

随机变量X (X母數為λ或β) 的期望值是:

 

例如:如果你平均每个小时接到2次电话,那么你预期等待每一次电话的时间是半个小时。

X方差是:

 

X偏態系数是: V[X] = 1

无记忆性编辑

指数函数的一个重要特征是无记忆性(Memoryless Property,又稱遺失記憶性)。这表示如果一个随机变量呈指数分布,它的条件概率遵循:

 

与泊松过程的关系编辑

泊松過程是一种重要的随机过程。泊松過程中,第k次随机事件与第k+1次随机事件出现的时间间隔服从指数分布。而根据泊松過程的定义,长度为t的时间段内没有随机事件出现的概率等于

 ,

长度为t的时间段内随机事件发生一次的概率等于  , 所以第k次随机事件之后长度为t的时间段内,第k+n次 (n=1, 2, 3,...)随机事件出现的概率等于 。这是指数分布。这还表明了泊松过程的无记忆性。

四分位数编辑

率参数λ的四分位数函数(Quartile function)是:

 
  • 第一四分位数: 
  • 中位数 
  • 第三四分位数: 

参数估计编辑

最大概似法编辑

给定独立同分布样本x = (x1, ..., xn),λ的似然函数(Likelihood function)是:

 

其中:

 是样本期望値。

似然函数对数导数是:

 

参数λ的最大概似估計(Maximum likelihood)值是:

 

參見编辑

参考文獻编辑

  1. Donald E. Knuth (1998). The Art of Computer Programming, volume 2: Seminumerical Algorithms, 3rd edn. Boston: Addison-Wesley. ISBN 0-201-89684-2. pp. 133
  2. Luc Devroye (1986). Non-Uniform Random Variate Generation. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96305-7. pp. 392–401

外部連結编辑