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高斯散度定理

向量分析定理
(重定向自散度定理

高斯公式,又称为散度定理高斯散度定理高斯-奥斯特罗格拉德斯基公式高-奥公式,是指在向量分析中,一个把向量场通过曲面的流动(即通量)与曲面内部的向量场的表现联系起来的定理。

更加精确地说,高斯公式说明向量场穿过曲面的通量,等于散度在曲面圍起來的體積上的积分。直观地,所有源点的和减去所有汇点的和,就是流出這区域的淨流量。

高斯公式在工程数学中是一个很重要的结果,特别是静电学流体力学

在物理和工程中,散度定理通常运用在三维空间中。然而,它可以推广到任意维数。在一维,它等价于微积分基本定理;在二维,它等价于格林公式

定理编辑

 
区域V,以带有法线n的面S = ∂V为边界。
 
散度定理可以用來計算穿過閉曲面的通量,例如,任何左邊的曲面;散度定理不可以用來計算穿過具有邊界的曲面,例如,任何右邊的曲面。在這圖內,曲面以藍色顯示,邊界以紅色顯示。

设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围起來的三維區域,函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上具有一阶连续偏导数,则有[1]

     

     

这里Σ是Ω的边界(boundary),cos α、cos β、cos γ是Σ在点(x,y,z)处的單位法向量的方向余弦

这两个公式都叫做高斯公式,不過這兩公式僅僅是表達方式不同,其實是相同的定理,這可以用變數變換得到兩公式的右邊都等於  ,其中   是曲面   的向外單位法向量。

这个定理是更一般的斯托克斯公式的特殊情形。

用散度表示编辑

高斯公式用散度表示为:[2]

     

其中Σ是空间闭区域Ω的边界曲面,而   是曲面Σ上的朝外的單位法向量。

用向量表示编辑

V代表有一间单闭曲面S为边界的体积, 是定义在V中和S上连续可微的向量场。如果 是外法向向量面元,则

 

推论编辑

  • 对于标量函数g和向量场F的积,应用高斯公式可得:
 
  • 对于两个向量场 的向量积,应用高斯公式可得:
 
  • 对于标量函数f和非零常向量的积,应用高斯公式可得:
 
  • 对于向量场F和非零常向量的向量积,应用高斯公式可得:
 

例子编辑

 
例子所对应的向量场。注意,向量可能指向球面的内侧或者外侧。

假设我们想要计算

    

其中S是一个单位球面,定义为

 

F向量场

 

直接计算这个积分是相当困难的,但我们可以用高斯公式来把它简化:

 

其中W是单位球:

 

由于函数yz奇函数,我们有:

 

因此:

    

因为单位球W体积4π/3.

二阶张量的高斯公式编辑

二阶张量的高斯公式实际上是上面的高斯公式的推论。为了使内容完整,首先简要地介绍三维欧几里得空间上的二阶张量(详见并矢张量张量积)以及相关的概念和记号。在这里,向量和向量场用黑斜体字母表示,张量用正黑体字母表示。

  1. 两个向量  并排放在一起所形成的量 被称为向量  并矢并矢张量。要注意,一般来说, 
  2.  的充分必要条件是  
  3. 二阶张量就是有限个并矢的线性组合。
  4.  分别线性地依赖于  
  5. 二阶张量 和向量 的缩并 以及   都是线性的。
  6. 特别是,当 时,
 

所以,一般说来, 

下面举一个例子:用二阶张量及其与向量的缩并来重新写  

 

我们还用到二阶张量 转置 (又可以记为 ),定义如下:

  1.  仍然是一个二阶张量,并且线性地依赖于 
  2.  

定理: 是三维欧几里得空间中的一个有限区域 是它的边界曲面,  的外法线方向上的单位向量 是定义在 的某个开邻域上的 连续的二阶张量场,  的转置,则

 

证明:下面以第二个式子为例进行证明。令第二个式子的左边为 ,则

 

接下来利用向量场的高斯公式,可得

 

于是

 

至此证毕。

参阅编辑

参考文献编辑

  1. ^ 同济大学数学系 编. 高等数学(第六版)(下册). 北京: 高等教育出版社, 2007
  2. ^ 谢树艺编. 高等学校教材•工程数学:向量分析与场论(第3版). 北京: 高等教育出版社, 2005