數論轉換

數論轉換是一種計算摺積的快速演算法。計算摺積的快速演算法中最常用的一種是使用快速傅里葉變換，然而快速傅立葉變換具有一些實現上的缺點，舉例來說，資料向量必須乘上複數係數的矩陣加以處理，而且每個複數係數的實部和虛部是一個正弦及餘弦函數，因此大部分的係數都是浮點數，也就是說，必須做複數而且是浮點數的運算，因此計算量會比較大，而且浮點數運算產生的誤差會比較大。

而在數論轉換中，資料向量需要乘上的矩陣是一個整數的矩陣，因此不需要作浮點數的乘法運算，更進一步，在模數為$M$的情況下，只有$M^{2}$種可能的加法與$M^{2}$種可能的乘法，這可以使用記憶體把這些有限數目的加法和乘法存起來，利用查表法來計算，使得數論轉換完全不須任何乘法與加法運算，不過需要較大的記憶體與消耗較大的存取記憶體量。

雖然使用數論轉換可以降低計算摺積的複雜度，不過由於只進行整數的運算，所以只能用於對整數的信號計算摺積，而利用快速傅立葉變換可以對任何複數的信號計算摺積，這是降低運算複雜度所要付出的代價。

轉換公式

數論轉換的轉換式為

$F[k]=\sum _{n=0}^{N-1}f[n]\alpha ^{nk}{\pmod {M}}\quad k=0,1,2,\ldots ,N-1$

而數論轉換的反轉換式為

$f[n]=N^{-1}\sum _{k=0}^{N-1}F[k]\alpha ^{-nk}{\pmod {M}}\quad n=0,1,2,\ldots ,N-1$

註解：

(1) $M$是一個質數。

(2) ${\pmod {M}}$ 表示除以M的餘數

(3) $N$必須是$M-1$的因數。(當$N\neq 1$時$N$和$M$互質)

(4)$N^{-1}$是$N$對模數$M$之模反元素

(5)$\alpha$為模M的N階單位根，即$\alpha ^{N}=1{\pmod {M}}$而且$\alpha ^{k}\neq 1{\pmod {M}}\ k=1,2,\ldots ,N-1$。若此時$N=M-1$，我們稱$\alpha$為模M的原根

舉一個例子：

一個$M=5$的$N=4$點數論轉換與反轉換如下，取$\alpha =2$，注意此時$N^{-1}=4$

正轉換 ${\begin{pmatrix}F[0]\\F[1]\\F[2]\\F[3]\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&2&4&3\\1&4&1&4\\1&3&4&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}f[0]\\f[1]\\f[2]\\f[3]\end{pmatrix}}{\pmod {M}}$

反轉換 ${\begin{pmatrix}f[0]\\f[1]\\f[2]\\f[3]\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&4&4&4\\4&2&1&3\\4&1&4&1\\4&3&1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}F[0]\\F[1]\\F[2]\\F[3]\end{pmatrix}}{\pmod {M}}$

數論轉換的性質

(1) 正交性質

數論轉換矩陣的每個列是互相正交的，即$\sum _{n=0}^{N-1}\alpha ^{nl}\alpha ^{-nk}={\begin{cases}N\quad if\ k=l\\0\quad if\ k\neq l\end{cases}}{\pmod {M}}$

(2) 對稱性

若$f[n]=f[N-n]$，則$f[n]$的數論轉換$F[k]$也會有$F[k]=F[N-k]$的特性。

若$f[n]=-f[N-n]$，則$f[n]$的數論轉換$F[k]$也會有$F[k]=-F[N-k]$的特性。

(3) 反數論轉換可由正數論轉換實現

$f[n]=N^{-1}\sum _{k=0}^{N-1}F[k]\alpha ^{-nk}=N^{-1}\sum _{-k=0}^{N-1}F[-k]\alpha ^{nk}$，即$N^{-1}F[-k]$的數論轉換。

步驟一：把$F[k]$改寫成$F[-k]$，若$F[k]=F_{0},F_{1},,F_{2}\ldots ,F_{N-1}$，則$F[-k]=F_{0},F_{N-1},\ldots ,F_{2},F_{1}$

步驟二：求$F[-k]$的數論轉換。

步驟三：乘上$N^{-1}$。

(4) 線性性質

若$f[n]\leftrightarrow F[k]$，$g[n]\leftrightarrow G[k]$，($\leftrightarrow$表互為數論轉換對)則有$af[n]+bg[n]\leftrightarrow aF[k]+bg[k]{\pmod {M}}$。

(5) 平移性質

若$f[n]\leftrightarrow F[k]$，則$f[n+l]\leftrightarrow \alpha ^{-lk}F[k]{\pmod {M}}$，而且$f[n]\alpha ^{nl}\leftrightarrow F[k+l]$。

(6) 圓周摺積性質

若$f[n]\leftrightarrow F[k]$，$g[n]\leftrightarrow G[k]$，則$f[n]\otimes g[n]\leftrightarrow F[k]G[k]{\pmod {M}}$，而且$f[n]g[n]\leftrightarrow {\frac {1}{N}}F[k]\otimes G[k]{\pmod {M}}$。($\otimes$代表圓形摺積。)

這個性質是數論轉換可以用來作為摺積的快速演算法的主要原因。

(7) 帕塞瓦爾定理(Parseval's Theorem)

若$f[n]\leftrightarrow F[k]$，則$N\sum _{n=0}^{N-1}f[n]f[-n]=\sum _{k=0}^{N-1}F^{2}[k]{\pmod {M}}$，而且$N\sum _{n=0}^{N-1}f^{2}[n]=\sum _{k=0}^{N-1}F[k]F[-k]{\pmod {M}}$

快速數論轉換

如果轉換點數N是一個2的次方，則可以使用類似基數-2快速傅立葉變換的蝴蝶結構來有效率的實現數論轉換。同樣的互質因子算法也可以應用在數論轉換上。

${\begin{matrix}F[k]&=&\sum _{n=0}^{N-1}f[n]\alpha ^{nk}\\\ &=&\sum _{r=0}^{N/2-1}f[2r]\alpha ^{2rk}+\sum _{r=0}^{N/2-1}f[2r+1]\alpha ^{(2r+1)k}\\\ &=&\sum _{r=0}^{N/2-1}f[2r](\alpha ^{2})^{rk}+\alpha ^{k}\sum _{r=0}^{N/2-1}f[2r+1](\alpha ^{2})^{rk}\\\ &=&{\begin{cases}G[k]+\alpha ^{k}H[k]\quad 0\leq k\leq {\frac {N}{2}}-1\\G[k-{\frac {N}{2}}]-\alpha ^{k}H[k-{\frac {N}{2}}]\quad {\frac {N}{2}}\leq k\leq N-1\end{cases}}\end{matrix}}$

其中，$G[k]=\sum _{r=0}^{N/2-1}f[2r](\alpha ^{2})^{rk}$，$H[k]=\sum _{r=0}^{N/2-1}f[2r+1](\alpha ^{2})^{rk}$。 因此一個$N$點數論轉換可以拆解成兩個${\frac {N}{2}}$點的數論轉換。

N, M, alpha的選擇

由於數論轉換可以擁有類似快速傅立葉變換的快速演算法，因此通常$N$會選擇適合使用快速演算的值，比如說取為2的冪次，或是可以分解成許多小質數相乘的數。

在數論轉換中，需要大量地和$\alpha$的冪次做乘法，因此，如果可以取$\alpha$為2或2的冪次，則每一次的乘法在二進制中只會是一個移位的操作，可以省下大量的乘法運算。

因為要做模$M$的運算，所以$M$的二進位表示法中，1的個數越少越好，同時$M$的值不能取太小，這是因為數論轉換後的值都小於$M$，因此當真實的摺積的結果會大於$M$時就會發生錯誤，所以必須謹慎選取$M$的大小。

特殊的數論轉換

梅森質數數論轉換

梅森質數是指形如$2^{p}-1$的質數記做$M_{p}$，其中$p$是一個質數。

在梅森質數數論轉換中，取$M=M_{p}$，可以證明$\alpha ,N$可以如下選取：

(1) $\alpha =2,N=p,N^{-1}=M_{p}-{\frac {M_{p}-1}{p}}$

(2) $\alpha =-2,N=2p,N^{-1}=M_{p}-{\frac {M_{p}-1}{2p}}$

在這兩種選取方式下，由於$\alpha$是2的冪次，所以只需移位運算，但$N$不是2的冪次，所以基數-2的蝴蝶結構不適用於此例中，同時$N$為質數或一個質數的兩倍，並不是一個可以拆解成很多質因數乘積的數，因此也無法由互質因子演算法得到太大的好處。梅森質數數論轉換通常用於較短序列的摺積運算

費馬數數論轉換

費馬數是指形如$2^{2^{t}}+1$的數記做$F_{t}$。

在費馬數數論轉換中，取$M=F_{t}$，可以證明在$0<t\leq 4$之下$\alpha ,N$可以如下選取：

(1) $\alpha =2,N=2^{t+1}$

(2) $\alpha =3,N=F_{t}-1$

在這兩種選取方式下，$N$是2的冪次，所以基數-2的蝴蝶結構適用於此例中，而若$\alpha$是2的冪次，只需移位運算。費馬數數論轉換通常用於較長序列的摺積運算。

實作議題

由於數論轉換需運用到餘數下的反元素，這邊提供一些不同的演算法。

(一) Euclidean algorithm - iterative version

假設M為質數的mod，N為我們當前的元素且符合M-1的因數，藉由Euclidean Algorithm知道必然存在x, y的整數使得

xM + yN = 1 - (1)

由上式左右mod M 可以得到 yN mod M= 1，顯然y就是我們這邊想求的反元素。

我們已知最大公因數(gcd)有如下性質。

gcd(M, N) = gcd(N, M mod N) = gcd(M mod N, N mod (M mod N)) = ... = 1

這邊設定q為商數，r為餘數，接上面的等式方程式化如下。

$M=q_{0}N+r_{1},$

$N=q_{1}r_{1}+r_{2},$

$r_{1}=q_{2}r_{2}+r_{3},$

$r_{2}=q_{3}r_{3}+r_{4},...$

整理一下

$M-q_{0}N=r_{1},$

$N-q_{1}r_{1}=r_{2},$

$r_{1}-q_{2}r_{2}=r_{3},$

$r_{2}-q_{3}r_{3}=r_{4},...$

最後的r 一定會變成1，所以我們只要不斷的將r乘上-q帶往下一個式子(像是r1*(-q1))，跟代往下下個式子(像是r3的左邊式子要帶入r1)即可求得最後我們想得到的 (1)，最後的N旁的係數就是反元素。

def modInv(x, M): #by Euclidean algorithm - iterative version
    t, new_t, r, new_r = 0, 1, M, x

    while new_r != 0:
        quotient = int(r / new_r)
        tmp_new_t = new_t
        tmp_t = t
        tmp_new_r = new_r
        tmp_r = r
        t, new_t = new_t, (t - quotient * new_t)
        r, new_r = new_r, (r % new_r)
    if r > 1:
        print("Inverse doesn't exist")
    if t < 0:
        t = t + M
    return t

(二) Euclidean algorithm - recursion version

根據gcd的性質gcd(M, N) = gcd(N, M mod N) = gcd(M mod N, N mod (M mod N)) = ... = 1

可以看出遞迴的關係，藉此我們可以從這邊得到N的係數，也就是反元素。

gcd(M, N) = 1來看，我們知道存在$xM+yN=1$ 。

gcd(N, M mod N)=1，則存在$x_{1}N+y_{1}(M\,mod\,N)=1$

$x_{1}N+y_{1}(M\,mod\,N)=x_{1}N+y_{1}(M-q_{1}N)=y_{1}M+(x_{1}-q_{1}y_{1})N=1$

這邊q就是相除的商數，比較M跟N的係數，這邊可以得到一個遞迴關係，

$(x_{1}-q_{1}y_{1})=y$

$y_{1}=x$

可以藉由下一層的係數來推出上一層的係數。

def egcd(a, b): # y = x1 - quotient * y1  , x = y1 
    if a == 0:
        return (b, 0, 1)
    else:
        g, y, x = egcd(b % a, a)
        return (g, x - (b // a) * y, y)

def modInv(n, m): #by Euclidean algorithm - recursion version 
    g, y, x = egcd(n, m)
    if g != 1:
        print("Inverse doesn't exist")
    else:
        return y % m

(三) Fermat little theorem

當M是質數時，我們知道任何一個數字N，$N^{M-1}\,mod\,M=1$

$N(N^{M-2}\,mod\,M)\,mod\,M=1$

顯然$N^{M-2}\,mod\,M$就是N的反元素。

搭配快速mod可以容易的算出反元素，power是偶數時則可以用$(a^{2}\,mod\,M)^{power/2}$; power是基數時則可以用$(aN\,mod\,M)^{power-1}$，讓power變成偶數。反覆直到power變成1。

def modInv(a, m): #fermat little thm
      return modExponent(a, m - 2, m)
      
def modExponent(base, power, M): #quick mod O(log(power))
    result = 1
    power = int(power)
    base = base % M
    while power > 0:
        if power & 1:
            result = (result * base) % M
        base = (base * base) % M
        power = power >> 1
    return result

演算法

以下程式預設。

import numpy as np

這邊只要再從1到M-1中選出一個適當的alpha (Root Of Unity)，其滿足"轉換公式"段落的(5)即可。

def NTT(x,N,M):
    #TODO: RootOfUnity 
    alpha = RootOfUnity(N, M)
    NInv = modInv(N, M)
    A = np.ones((N,N))
    for i in range(1,N):
        for j in range(1,i+1):
          A[i][j] = A[i][j-1]*modExponent(alpha,i,M) % M
          A[j][i] = A[i][j]
    return np.matmul(A,x) % M, alpha

def invNTT(x,alpha,N,M):
    alphaInv = modInv(alpha, M)
    NInv = modInv(N, M)
    B = np.ones((N,N))
    for i in range(1,N):
        for j in range(1,i+1):
          B[i][j] = B[i][j-1]*modExponent(alphaInv,i,M) % M
          B[j][i] = B[i][j]
    B = B * NInv 
    return np.matmul(B,x) % M

參考資料

[1] R.C. Agarval and C.S. Burrus,"Number Theoretic Transforms to Implement Fast Digital Convolution," Proc. IEEE, vol.63, no.4, pp. 550-560, Apr. 1975.

[2] I. Reed and T.K. Truong,"The use of finite fileds to compute convolution," IEEE Trans. Info. Theory, vol.21 ,pp.208-213, Mar. 1975.