在数学及其应用中,以雅克·夏尔·弗朗索瓦·施图姆(1803–1855)和约瑟夫·刘维尔(1809–1882)的名字命名的施图姆-刘维尔方程是指二阶线性实微分方程:
![{\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}x}}\left[p(x){\frac {{\mathrm {d}}y(x)}{{\mathrm {d}}x}}\right]+\lambda w(x)y(x)-q(x)y(x)=0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfa7cdaa58c089eaf083814cbd236400a184564c)
其中函数
,
,
均为已知函数;
为待求解函数,称为解;
是一个未定常数。
又记为
,称为权函数。
在一个正则的施图姆-刘维尔(S-L)本征值问题中,在有界闭区间[a,b]上,三个系数函数
应满足以下性质:
;
均连续;
满足边界条件
及
(
)。
只有一些恰当的
能够使得方程拥有满足上述条件的非平凡解(非零解)。这些
称为方程的特徵值,对应的非平凡解称为特徵函数,而特徵函数的集合则称为特徵函数族。史、刘二人在一些由边界条件确定的函数空间中,引入埃尔米特算子,形成了施图姆-刘维尔理论。这个理论提出了特徵值的存在性和渐近性,以及特徵函数族的正交完备性。这个理论在应用数学中十分重要,尤其是在使用分离变量法求解偏微分方程的时候。
施图姆-刘维尔理论提出:
- 施图姆-刘维尔特徵值问题,存在无限多个实数特徵值,而且可以排序为:
;
- 对于每一个特徵值
都有唯一的(已被归一化的)特徵函数
,且
在开区间(a,b)上有且仅有n-1个零点。其中
称为满足上述施图姆-刘维尔特徵值问题的第n个基本解;
- 已归一化的特徵函数族在希尔伯特空间
上有正交性和完备性,形成一组正交基:

- 其中
是克罗内克函数。