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施图姆-刘维尔理论

在数学及其应用中,以雅克·夏尔·弗朗索瓦·施图姆(1803–1855)和约瑟夫·刘维尔(1809–1882)的名字命名的施图姆-刘维尔方程是指二阶线性实微分方程:

其中函数均为已知函数;为待求解函数,称为解;是一个未定常数。又记为,称为权函数。

在一个正则的施图姆-刘维尔(S-L)本征值问题中,在有界闭区间[a,b]上,三个系数函数应满足以下性质:

  • 均连续;
  • 满足边界条件 )。

只有一些恰当的能够使得方程拥有满足上述条件的非平凡解(非零解)。这些称为方程的特徵值,对应的非平凡解称为特徵函数,而特徵函数的集合则称为特徵函数族。史、刘二人在一些由边界条件确定的函数空间中,引入埃尔米特算子,形成了施图姆-刘维尔理论。这个理论提出了特徵值的存在性和渐近性,以及特徵函数族的正交完备性。这个理论在应用数学中十分重要,尤其是在使用分离变量法求解偏微分方程的时候。

施图姆-刘维尔理论提出:

  • 施图姆-刘维尔特徵值问题,存在无限多个实数特徵值,而且可以排序为:
  • 对于每一个特徵值都有唯一的(已被归一化的)特徵函数,且在开区间(a,b)上有且仅有n-1个零点。其中称为满足上述施图姆-刘维尔特徵值问题的第n个基本解;
  • 已归一化的特徵函数族在希尔伯特空间上有正交性和完备性,形成一组正交基
其中克罗内克函数

目录

一些函数的施图姆-刘维尔形式编辑

只要乘以一个恰当的积分因子,所有二阶常微分方程都可以写成施图姆-刘维尔形式。

贝塞尔方程编辑

 
等价于:
 

勒让德方程编辑

 
注意到 D(1 − x2) = −2x,因此等价于:
 

使用积分因子的例子编辑

 
两边同时除以x3:
 
再乘以积分因子:
 
得到:
 
又注意到:
 
因此原方程等价于:
 

一般形式二阶常微分方程的积分因子编辑

 
两边同时乘以积分因子:
 
整理后得到:
 
或者把积分因子写出来: