施图姆-刘维尔理论

在数学及其应用中，以雅克·夏尔·弗朗索瓦·施图姆（1803–1855）和约瑟夫·刘维尔（1809–1882）的名字命名的施图姆-刘维尔方程是指二阶线性实微分方程：

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[p(x){\frac {\mathrm {d} y(x)}{\mathrm {d} x}}\right]+\lambda w(x)y(x)-q(x)y(x)=0$

其中函数$p(x)$，$w(x)$，$q(x)$均为已知函数；$y(x)$为待求解函数，称为解；$\lambda$是一个未定常数。$w(x)$又记为$\rho (x)$，称为权函数。

在一个正则的施图姆-刘维尔（S-L）本征值问题中，在有界闭区间[a,b]上，三个系数函数$p(x),w(x),q(x)$应满足以下性质：

• $p(x)>0,w(x)>0$；
• $p(x),p'(x),w(x),q(x)$ 均连续；
• $y(x)$ 满足边界条件 $\alpha _{1}y(a)+\alpha _{2}y'(a)=0$ 及 $\beta _{1}y(b)+\beta _{2}y'(b)=0$（$\alpha _{1}^{2}+\alpha _{2}^{2}>0,\beta _{1}^{2}+\beta _{2}^{2}>0$）。

只有一些恰当的$\lambda$能够使得方程拥有满足上述条件的非平凡解（非零解）。这些$\lambda$称为方程的特徵值，对应的非平凡解称为特徵函数，而特徵函数的集合则称为特徵函数族。史、刘二人在一些由边界条件确定的函数空间中，引入埃尔米特算子，形成了施图姆-刘维尔理论。这个理论提出了特徵值的存在性和渐近性，以及特徵函数族的正交完备性。这个理论在应用数学中十分重要，尤其是在使用分离变量法求解偏微分方程的时候。

施图姆-刘维尔理论提出：

• 施图姆-刘维尔特徵值问题，存在无限多个实数特徵值，而且可以排序为：

$\lambda _{1}<\lambda _{2}<\lambda _{3}<\cdots <\lambda _{n}<\cdots ,\lim _{n\rightarrow \infty }\lambda _{n}=\infty$；

• 对于每一个特徵值$\lambda _{n}$都有唯一的（已被归一化的）特徵函数$y_{n}(x)$，且$y_{n}(x)$在开区间(a,b)上有且仅有n-1个零点。其中$y_{n}(x)$称为满足上述施图姆-刘维尔特徵值问题的第n个基本解；
• 已归一化的特徵函数族在希尔伯特空间$L^{2}([a,b],w(x)\mathrm {d} x)$上有正交性和完备性，形成一组正交基：

$\int _{a}^{b}y_{n}(x)y_{m}(x)w(x)\,\mathrm {d} x=\delta _{mn}$

其中$\delta _{mn}$是克罗内克函数。

一些函数的施图姆-刘维尔形式

只要乘以一个恰当的积分因子，所有二阶常微分方程都可以写成施图姆-刘维尔形式。

贝塞尔方程

$x^{2}y''+xy'+(x^{2}-\nu ^{2})y=0\,$

等价于：

$(xy')'+(x-\nu ^{2}/x)y=0.\,$

勒让德方程

$(1-x^{2})y''-2xy'+\nu (\nu +1)y=0\;\!$

注意到 D(1 − x²) = −2x，因此等价于：

$[(1-x^{2})y']'+\nu (\nu +1)y=0\;\!$

使用积分因子的例子

$x^{3}y''-xy'+2y=0.\,$

两边同时除以x³:

$y''-{x \over x^{3}}y'+{2 \over x^{3}}y=0$

再乘以积分因子：

$\mu (x)=e^{\int -{x/x^{3}}\,\mathrm {d} x}=e^{\int -{1/x^{2}}\,\mathrm {d} x}=e^{1/x},$

得到：

$e^{1/x}y''-{e^{1/x} \over x^{2}}y'+{2e^{1/x} \over x^{3}}y=0$

又注意到：

$De^{1/x}=-{e^{1/x} \over x^{2}}$

因此原方程等价于：

$(e^{1/x}y')'+{2e^{1/x} \over x^{3}}y=0.$

一般形式二阶常微分方程的积分因子

$P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0\,$

两边同时乘以积分因子：

$\mu (x)={1 \over P(x)}e^{\int {Q(x)/P(x)}\,\mathrm {d} x},$

整理后得到：

${d \over dx}(\mu (x)P(x)y')+\mu (x)R(x)y=0$

或者把积分因子写出来：

${d \over dx}(e^{\int {Q(x)/P(x)}\,\mathrm {d} x}y')+{R(x) \over P(x)}e^{\int {Q(x)/P(x)}\,\mathrm {d} x}y=0$