微分几何中,曲率半径R曲率的倒数。 对于曲线上一点,曲率半径等于最贴近该点曲线的圆弧半径。 对于曲面上一点,曲率半径是最贴合该点的法向截面或其组合的圆弧半径。 [1] [2] [3]

曲率半径与曲率中心

定义 编辑

对于空间曲线,曲率半径是曲率矢量的长度。

对于平面曲线,则曲率半径是曲线上固定一点的弧长的微分与切角的微分之比[3]绝对值

 

κ曲率

公式 编辑

二维 编辑

若曲线在笛卡尔坐标中为y(x) 作为函数图,则其曲率半径为(假设曲线可进行二阶微分)

 

其中  |z|z的绝对值。

如果曲线是关于函数x(t)y(t)的参数方程,则其曲率半径为

 

其中    

由此启发,该结果可以表示为[2]

 

其中

 

n维 编辑

γ : ℝ → ℝnn中的参数方程曲线,则曲线上每个点的曲率半径ρ : ℝ → ℝ ,由[3]此可知

 

特殊情况下,若f(t)是从映射到的函数,则其图象的曲率半径γ(t) = (t, f (t))

 


推导过程 编辑

γ如上,并固定t 。我们想要找到一个与t处的γ零阶、一阶和二阶导数相匹配的参数方程圆的半径ρ 。显然,半径与位置γ(t) 无关,而与速度γ′(t)和加速度γ″(t) 有关。 由向量vw只能获得三个独立标量,即v · vv · ww · w 。因此,曲率半径一定是关于这三个标量函数。即 |γ′(t)|2, |γ″(t)|2γ′(t) · γ″(t)[3]

n中圆的一般参数方程为

 

其中c ∈ ℝn是圆心(无关,因为它在求导过程中消失), a,b ∈ ℝn是长度为ρ的相互垂直的向量(即, a · a = b · b = ρ2a · b = 0 ), h : ℝ → ℝ是在t处可两次微分任意函数。

g的相关导数为

 

若现在将g的导数等同于tγ的相应导数,可得

 

关于三个未知数( ρh′(t)h″(t) )的三个方程可以求解其中的ρ ,可得曲率半径的公式为:

 

提高可读性省略参数t ,可得

 

示例 编辑

半圆与圆 编辑

对于一个半径为a的在上半平面的半圆

 
 
椭圆(红线)及其渐屈线 (蓝线)。点是椭圆的顶点, 及最大或最小的曲率半径的点

对于一个半径为a的在下半平面的半圆

 

该半径为a有等于a的曲率半径。

椭圆 编辑

在长轴为2a短轴为2b椭圆中, 长轴的顶点有该椭圆上最小的曲率半径,  ; 并且短轴的顶点有该椭圆上最大的曲率半径 R = a2/b

令椭圆的曲率半径是关于参数t的方程, 即[4]

 

其中 

令椭圆的曲率半径是关于参数θ的方程, 即

 

其中椭圆的偏心率e, 是

 

应用 编辑

參考 编辑

  1. ^ Weisstien, Eric. Radius of Curvature. Wolfram Mathworld. [15 August 2016]. 
  2. ^ 2.0 2.1 Kishan, Hari. Differential Calculus. Atlantic Publishers & Dist. 2007. ISBN 9788126908202 (英语). 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 Love, Clyde E.; Rainville, Earl D. Differential and Integral Calculus Sixth. New York: MacMillan. 1962 (英语). 
  4. ^ Weisstein, Eric W. Ellipse. mathworld.wolfram.com. [2022-02-23] (英语).