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最大公因數(英語:highest common factorhcf)也稱最大公約數(英語:greatest common divisorgcd)是數學詞彙,指能够整除多個整數的最大正整数。而多個整数不能都为零。例如8和12的最大公因数为4。

整数序列的最大公因数可以記為

求兩個整數最大公因數主要的方法:

  • 窮舉法:分別列出兩整數的所有因數,並找出最大的公因數。
  • 質因數分解:分別列出兩數的質因數分解式,並計算共同項的乘積
  • 短除法:兩數除以其共同質因數,直到兩數互質時,所有除數的乘積即為最大公因數。
  • 輾轉相除法:兩數相除,取餘數重複進行相除,直到餘數為時,前一個除數即為最大公因數。

兩個整數的最大公因數和最小公倍數lcm)的關係為:

兩個整數的最大公因數可用於計算兩數的最小公倍數,或分數化簡成最簡分數

兩個整數的最大公因數和最小公倍數中存在分配律

直角坐標中,兩頂點的線段會通過格子點

概述编辑

例子编辑

54和24的最大公因数是多少?

数字54可以表示為几组不同正整數的乘積:

 

故54的正因數為 

同樣地,24可以表示為:

 

故24的正因數為 

这两组数列中的共同元素即为54和24的公因数

 

其中的最大數6即為54和24的最大公因數,記為:

 

互质数编辑

如果两数的最大公因数为1,那么这两个数互質。例如,9和28就是互质数。

几何角度的说明编辑

 
24乘60的矩形被十个12乘12的正方形格子完全覆盖,即12为24和60的最大公因数。推而广之,如果cab的最大公因数,那么ab的矩形就可以被若干个边长为c的正方形格子完全覆盖。

假设有一个大小为24乘60的矩形区域,这个区域可以按照不同的大小划分正方形网格:1乘1、2乘2、3乘3、4乘4、6乘6、12乘12。因此,12是24和60的最大公因数。大小为24乘60的矩形区域,可以按照12乘12的大小划分正方形网格,一边有两格( )、另一边有五格( )。

计算编辑

质因数分解法编辑

可以通过質因數分解来计算最大公因数。例如计算 ,可以先进行质因数分解   ,因为其中表达式 的「重合」,所以 。实践中,这种方法只在数字比较小时才可行,因为对较大数进行质因数分解通常会耗费大量的时间。

再举一个用文氏图表示的例子,计算48和180的最大公因数。首先对这两个数进行质因数分解:

 
 

它们之中的共同元素是两个2和一个3:

 [1]
最小公倍数 
最大公因数 

辗转相除法编辑

相比质因数分解法,辗转相除法的效率更高。

计算 时,先将48除以18得到2、余数12,然后再将18除以12得到商1、余数6,再将12除以6得到商2、余数0,即得到最大公因数6。我们只关心每次除法的余数是否为0,为0即表示得到答案。这一算法更正式的描述是这样的:

 
 

其中

 

如果参数都大于0,那么该算法可以写成更简单的形式:

 ,
  如果 a > b
  如果 b > a
使用辗转相除法计算62和36的最大公因数2的演示动画。

性质编辑

  • 任意ab的公因数都是 因數
  •  函数满足交换律 
  •  函数满足结合律 

程式代碼编辑

數字之間的最大公因數之所有因數是該組數字所有的公因數。

以下使用輾轉相除法實現。

C#编辑

1 private int GCD(int a, int b) {
2 	if(0 != b) while(0 != (a %= b) && 0 != (b %= a));
3 	return a + b;
4 }

C++编辑

运行时计算实现:

template < typename T >
T GCD(T a, T b) {
	if(b) while((a %= b) && (b %= a));
	return a + b;
}

编译时计算实现:

#include <iostream>
#include <type_traits>

template<typename T, std::enable_if_t<std::is_integral<T>::value, T> a, std::enable_if_t<std::is_integral<T>::value, T> b>
struct HCF{
public:
    static const T value=HCF<T, (a>b? b: a), (a>b? a%b: b%a)>::value;
};
template<typename T, std::enable_if_t<std::is_integral<T>::value, T> a>
struct HCF<T, a, 0>{
public:
    static const T value=a;
};
int main(){
    std::wcout<<HCF<int, 12, 64>::value<<std::endl;//Output: 4
}

C编辑

int GCD(int a, int b)
{
	if (b)
            while((a %= b) && (b %= a));
	return a + b;
}

Java编辑

private int GCD(int a, int b) {
        if(b==0) return a; 
	return a % b == 0 ? b : GCD(b, a % b);
}

Python编辑

GCD = lambda a, b: (GCD(b, a % b) if a % b else b)

政治用法编辑

最大公約數又指一社會中不同陣營勉強所達之共同利益。

参考文献编辑

外部链接编辑

参见编辑