最大與最小元
数学分支序理论中,最大元是某集合中,大於或等於其全體元素的特殊元素。最小元與之對偶,小於等於該集合的任何元素。例如,實數集中,最大元是,而最小元是,但是區間並無最大元或最小元。
嚴格定義
编辑設 為偏序集(或預序集亦可), 為其子集。若 的元素 滿足:
- 對 的任意元素 ,皆有 ,
則 稱為 的最大元(英語:greatest element)。對偶地,若 的元素 滿足:
- 對 的任意元素 ,皆有 ,
則 稱為 的最小元(least element)。
由定義, 的最大(小)元必定是 的上(下)界。且若 為偏序集,則集合 至多得一個最大元:若 和 皆為最大,則由定義有 ,又有 ,由反對稱性得 。所以若有最大元,則必定唯一。[1]若改為預序集則不一定。
整個偏序集 的最大最小元又稱為頂(top)和底(bottom)。頂常以符號記作 或 ,底則是 或 ,在有补格和布爾代數等結構中尤為常見。有頂和底的偏序集稱為有界偏序集合。
與極大極小元、上下界之別
编辑集合不一定有最大元,也不一定有上界。即使集合有上界和上確界,也不一定有最大元。舉例,實數系 中,任何正數皆是負數子集 的上界,且 為其上確界,但是沒有最大元:不存在「最大的負數」。最小元與下界、下確界的關係也類似。最大元又與極大元(maximal element)不同:有極大元的集合不一定有最大元,但偏序集若有最大元,則同時亦是唯一的極大元。最小元與極小元(minimal element)亦不同。[1]
性質
编辑設 為偏序集, 為其子集。
全序集的最大最小元
编辑假如 限制到子集 上為全序(如首段附圖的 ),則在 中,最大元與極大元等價:若 為極大,則對任意其他 ,必有 ( 將與 極大矛盾),故 是最大元。
所以,全序集中,最大元與極大元兩個概念重合,有時也稱為最大值(maximum),同理最小元與極小元也稱為最小值(minimum)。但上述用法與實值函數論的用法略有出入。[2]研究實值函數時,所謂最大值是函數的值域的最大元,又稱全域最大值、絕對最大值、最大值。[3]而限制到某點鄰域時,對應值域的最大元(等同於極大元)則稱為局域最大值、相對最大值、極大值。[4]最大最小值又合稱最值,極值亦同。
集合 的最大最小值分別記作 。在格理論或概率论中,為方便運算,會將兩數 之最大最小值(即其組成二元集的最大最小元)簡記作併 和交 。換言之:
例
编辑參見
编辑註
编辑參考文獻
编辑- ^ 1.0 1.1 松坂 1968,第90-97頁.
- ^ nLab的extremum: 1. Idea.條目
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Global Maximum. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语).
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Local Maximum. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语).
- ^ Billingsley, P. Probability and Measure [概率與測度] Anniversary. Wiley. 2012: 572. ISBN 978-1-118-12237-2 (英语).
- 西岡, 康夫. 数学チュートリアル やさしく語る 確率統計. オーム社. 2013. ISBN 9784274214073 (日语).
- 松坂, 和夫. 集合・位相入門. 岩波書店. 1968. ISBN 4-00-005424-4 (日语).
- Davey, B. A.; Priestley, H. A. Introduction to Lattices and Order 2nd. Cambridge University Press. 2002. ISBN 978-0-521-78451-1 (英语).