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数学的一个分支代数中,有序域是一个偏序关系通过加法乘法运算不被改变的。有序域最常见的例子是实数

定义编辑

一个满足下面两个条件的、拥有偏序关系 的域 被定义为有序域:对于任何 中的元素 以下两个条件获得满足:

  •  ,则 
  •   ,则 

大于0的元素被称为是正的,小于0的元素被称为是负的

特性编辑

由以上定义可以直接推导出以下特性(  的元素):

  • 一个正的元素的负数是负的,一个负的元素的负数是正的:即任何 中的 ,假如   
  • 不等式可以相加:   
  • 不等式可以与正元素相乘:   
  • 平方数不是负的: ,尤其 
  • 通过数学归纳法可以推导出任何一的有限的和是正的: 

结构编辑

所有有序域都具有特征数0。这个结论直接出于上述的最后一个特性 

每个有序域的子域也是有序域。任何含特征数0的域其最小子域与有理数同構,且这个子域的排序与 一致。

假如一个有序域中的任何元素都介于两个有理数之间的话,则该域具有阿基米德性质。比如实数是具有阿基米德性质的,而超实数则不具有。

有序域 的排序可用來定義 拓扑空间,这个拓扑空间可由  作為準基來生成,稱之為序拓撲。加法和乘法运算相对于这个拓扑空间是连续的。

例子编辑

  • 有理数 组成最小的有序域
  • 实数 和其中的任何部分域
  • 超实数