有序对

一對有順序性的數學物件;長度為二的多元組

数学中,有序对是两个对象的搜集,使得可以区分出其中一个是“第一个元素”而另一个是“第二个元素”(第一个元素和第二个元素也叫做左投影右投影)。带有第一个元素和第二个元素的有序对通常写为

符号也表示在实数轴上的开区间;在有歧义的场合可使用符号

一般性

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  是两个有序对。则有序对的特征或定义性质为:

 

有序对可以有其他有序对作为投影。所以有序对使得能够递归定义有序n-元组n项的列表)。例如,有序三元组 可以定义为 ,一个对嵌入了另一个对。这种方法也反映在计算机编程语言中,就是从嵌套的有序对构造元素的列表。例如,列表 (1 2 3 4 5)变成了(1, (2, (3, (4, (5, {} )))))。Lisp编程语言使用这种列表作为基本数据结构。

有序对的概念对于定义笛卡尔积关系是至关重要的。

有序对的集合论定义

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诺伯特·维纳在1914年提议了有序对的第一个集合论定义:

 

他注意到这个定义将允许《数学原理》中所有类型只透過集合便能表达。(在《数学原理》中,所有元数关系都是原始概念。)

标准Kuratowski定义

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公理化集合论中,有序对(a,b)通常定义为库拉托夫斯基对:

 

陈述“ 是有序对 的第一个元素”可以公式化为

 

而陳述“  的第二个元素”为

 

注意这个定义对于有序对 仍是有效的;在这种情况下陈述( )顯然是真的,因为不会有 的情况。

变体定义

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上述有序对的定义是“充足”的,在它满足有序对必须有的特征性质(也就是:如果   )的意义上,但也是任意性的,因为有很多其他定义也是不更加复杂并且也是充足的。例如下列可能的定义

  1.  
  2.  
  3.  

“逆”(reverse)对基本不使用,因为它比通用的Kuratowski对没有明显的优点(或缺点)。“短”(short)对有一個缺點,它的特征性质的证明會比Kuratowski对的证明更加复杂(要使用正规公理);此外,因为在集合论中数2有时定义为集合 ,这将意味着2是对 

证明有序对的特征性质

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Kuratowski对: 证明: 当且仅当  

僅當:

如果 ,则 ,且 。所以 ,或 
如果 ,则 
如果 ,则  。但這樣 就會等於 ,繼而 ,跟先前的假設矛盾。
如果 ,则 ,这矛盾于 。所以 ,即 ,且 
并且如果 ,则 。所以。
所以同樣有  

當:

反过来,如果 并且 ,则顯然 。所以 


对:  

如果 ,则 。所以  
反过来,如果  ,则顯然 。所以 

Quine-Rosser定义

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Rosser(1953年)[1]扩展了蒯因的有序对定义。Quine-Rosser的定义要求自然数的先决定义。设 是自然数的集合,   內的相對差集,並定義:

 

 包含在 中所有自然数的后继,和 中的所有非数成员。特别是, 不包含数0,所以对于任何集合   

以下是有序对 的定义:

 

提取这个对中那些不包含0的所有元素,然後再還原 的作用,就得出了 。类似的, 可以通过提取这个对的包含0的所有元素来復原。

有序对的这个定义有个显著的优点。在类型论和从类型论派生出的集合论如新基础中,这个对与它的投影有相同的类型(所以术语叫做“类型齐平”有序对)。因此一個函数(定义为有序对的集合),有只比序對的投影的类型高1的类型。对蒯因集合论中有序对的广泛的讨论请参见Holmes (1998)。[2]

Morse定义

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Morse(1965年)[3]提出的Morse-Kelley集合论可以自由的使用真类。Morse定义有序对的方法,使得它的投影可以是真类或者集合。(Kuratowski定义不允许这样)。它首先像Kuratowski的方式那樣,定义投影为集合的有序对。接着,他重定义对 (x,y)为

 

这里的笛卡尔积是指由Kuratowski对組成的集合並且

 

這便允許了定義以真類為投影的有序對。

参考文献

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  1. ^ J. Barkley Rosser, 1953. Logic for Mathematicians. McGraw-Hill.
  2. ^ Holmes, Randall (1998) Elementary Set Theory with a Universal Set页面存档备份,存于互联网档案馆. Academia-Bruylant. The publisher has graciously consented to permit diffusion of this monograph via the web. Copyright is reserved.
  3. ^ Morse, Anthony P., 1965. A Theory of Sets. Academic Press

参见

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