设 和 是两个有序对。则有序对的特征或定义性质为:
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有序对可以有其他有序对作为投影。所以有序对使得能够递归定义有序n-元组(n项的列表)。例如,有序三元组 可以定义为 ,一个对嵌入了另一个对。这种方法也反映在计算机编程语言中,就是从嵌套的有序对构造元素的列表。例如,列表 (1 2 3 4 5)变成了(1, (2, (3, (4, (5, {} )))))。Lisp编程语言使用这种列表作为基本数据结构。
有序对的概念对于定义笛卡尔积和关系是至关重要的。
诺伯特·维纳在1914年提议了有序对的第一个集合论定义:
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他注意到这个定义将允许《数学原理》中所有类型只透過集合便能表达。(在《数学原理》中,所有元数的关系都是原始概念。)
在公理化集合论中,有序对(a,b)通常定义为库拉托夫斯基对:
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陈述“ 是有序对 的第一个元素”可以公式化为
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而陳述“ 是 的第二个元素”为
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注意这个定义对于有序对 仍是有效的;在这种情况下陈述( )顯然是真的,因为不会有 的情况。
上述有序对的定义是“充足”的,在它满足有序对必须有的特征性质(也就是:如果 则 且 )的意义上,但也是任意性的,因为有很多其他定义也是不更加复杂并且也是充足的。例如下列可能的定义
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“逆”(reverse)对基本不使用,因为它比通用的Kuratowski对没有明显的优点(或缺点)。“短”(short)对有一個缺點,它的特征性质的证明會比Kuratowski对的证明更加复杂(要使用正规公理);此外,因为在集合论中数2有时定义为集合 ,这将意味着2是对 。
Kuratowski对:
证明: 当且仅当 且 。
僅當:
- 如果 ,则 ,且 。所以 ,或 。
- 如果 ,则 。
- 如果 ,则 或 。但這樣 就會等於 ,繼而 ,跟先前的假設矛盾。
- 如果 ,则 ,这矛盾于 。所以 ,即 ,且 。
- 并且如果 ,则 。所以。
- 所以同樣有 且 。
當:
- 反过来,如果 并且 ,则顯然 。所以 。
逆对:
。
- 如果 ,则 。所以 且 。
- 反过来,如果 和 ,则顯然 。所以 。
Rosser(1953年)[1]扩展了蒯因的有序对定义。Quine-Rosser的定义要求自然数的先决定义。设 是自然数的集合, 是 在 內的相對差集,並定義:
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包含在 中所有自然数的后继,和 中的所有非数成员。特别是, 不包含数0,所以对于任何集合 和 , 。
以下是有序对 的定义:
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提取这个对中那些不包含0的所有元素,然後再還原 的作用,就得出了 。类似的, 可以通过提取这个对的包含0的所有元素来復原。
有序对的这个定义有个显著的优点。在类型论和从类型论派生出的集合论如新基础中,这个对与它的投影有相同的类型(所以术语叫做“类型齐平”有序对)。因此一個函数(定义为有序对的集合),有只比序對的投影的类型高1的类型。对蒯因集合论中有序对的广泛的讨论请参见Holmes (1998)。[2]
Morse(1965年)[3]提出的Morse-Kelley集合论可以自由的使用真类。Morse定义有序对的方法,使得它的投影可以是真类或者集合。(Kuratowski定义不允许这样)。它首先像Kuratowski的方式那樣,定义投影为集合的有序对。接着,他重定义对 (x,y)为
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这里的笛卡尔积是指由Kuratowski对組成的集合並且
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這便允許了定義以真類為投影的有序對。