打开主菜单

有理函數是可以表示為以下形式的函數

不全為0。

有理數式是多項式除法的商,有時稱為代數分數

目录

漸近線编辑

  • 不失一般性可假設分子、分母互質。若存在 ,使得 是分母 的因子,則有理函數存在垂直漸近線 
  •  ,有水平漸近線 
  •  ,有水平漸近線 
  •  ,有斜漸近線 

泰勒級數编辑

有理函數的泰勒級數的係數滿足一個線性遞歸關係。反之,若一個泰勒級數的係數滿足一個線性遞歸關係,它對應的函數是有理函數。

部分分式编辑

部分分式,又稱部分分數分項分式,是將有理數式分拆成數個有理數式的技巧。

有理數式可分為真分式、假分式和帶分式,這和一般分數中的真分數、假分數和帶分數的概念相近。真分式分子的次數少於分母的。

若有理數式 的分母 可分解為數個多項式的積,其部分分數便是 ,其中  的因子, 是次數不大於Q(x)/h_n(x)的多項式。

例子编辑

  1. 分拆 

分子的次數是3,分母的是2,所以先將它轉成真分式和多項式的和(即帶分式):

 

因為 ,所以

 

其中A和B是常数。两边乘以 ,得

 

 

比較係數,得

 

 

解得 

故:  

也可以把x的特殊值代入等式来解出A和B。例如,当x=4时,我们有

 

 

当x=-7时,我们有

 

 

應用编辑

積分编辑

部分分數编辑

在計算有理數式的積分時,部分分數的方法很有用,因為分母的1和2次多項式的有理數式的積分都有固定的方法計算。

  • 分母為1次多項式:求 

 

 
 

原式變為

 
  • 分母次數為2:求 

若多項式 可分解為兩個一次多項式的積(即 ),則可用部分分數的方法解決。若多項式不可分解,則將它配方,再用各種替代法解決。

例如:

 

因為

 

考慮

 
 
 

將分子分解,以便應用上面的替換:

 

左邊:

 

另一邊:

 

代入

 
 
 

另一種可行的代入方法是:

 
 
 

 

奧斯特洛格拉德斯基方法编辑

奧斯特洛格拉德斯基方法(Ostrogradsky Algorithm / Ostrogradsky's Method)是這樣的:

設求積的有理函數為  ,其中 是多項式,  的次數少於 )。設 為Q的導數Q'和Q的最大公因數, 。則有:

 

其中 為多項式, 

應用例子编辑

  •  
  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

 

 

兩邊取導數:

 

通分母,右邊的分子為:

 

比較分子的多項式的係數,得 。於是有

 

後者可用部分分數的方法求得。

證明编辑

 
 

兩邊乘以 

 

由於  ,而  都是 的倍數,所以 是多項式。

比較兩邊多項式的次數:

  •  
  •  
  •  
  •  

因此 有解。

Hermite方法编辑

應用编辑

參考编辑