有理数

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延伸
其他

圓周率
自然對數的底
虛數單位
無窮大

数学上,可以表达为两个整数比的数(, )被定义为有理数,例如,0.75(可被表达为)。整数和分数统称为有理数。与有理数相對的是无理数,如无法用整数比表示。
有理数与分數形式的区别,分數形式是一种表示比值的记法,如 分數形式无理数
所有有理数的集合表示为Q,Q+,或。定义如下:

實數(ℝ)包括有理數(ℚ),其中包括整數(ℤ),其中包括自然數(ℕ)

有理数的小数部分有限或为循环。不是有理數的實數遂稱為無理數

词源编辑

有理数在英文中称作rational number,来自拉丁语rationalis,意为理性的;词根ratio,拉丁语意为理性、计算。[1]代表“比例”的英文ratio一词在历史上出现得要比有理数(rational number)一词更晚,前者最早有记录是1660,而后者是1570年。[2][3]

运算编辑

有理数集对加、减、乘、除四则运算是封闭的,亦即有理數加、减、乘、除有理數的結果仍為有理數。有理数的加法和乘法如下:

 

两个有理数  相等当且仅当 

有理数中存在加法和乘法的逆:

 时, 

古埃及分数编辑

古埃及分数是分子为1、分母为正整数的有理数。每个有理数都可以表达为有限个两两不等的古埃及分数的和。例如:

 

对于给定的正有理数,存在无穷多种表达成有限个两两不等的古埃及分数之和的方法。

形式构建编辑

数学上可以将有理数定义为建立在整数有序对 等价类,这里 不为零。我们可以对这些有序对定义加法和乘法,规则如下:

 
 

为了使 ,定义等价关系 如下:

 

这种等价关系与上述定义的加法和乘法上是一致的,而且可以将Q定义为整数有序对关于等价关系~的商集 。例如:两个对  是相同的,如果它们满足上述等式。(这种构建可用于任何整数环,参见商域。)

Q上的全序关系可以定义为:

 当且仅当
  1.  并且 
  2.  并且 

性质编辑

 
有理数集是可数的

集合 ,以及上述的加法和乘法运算,构成,即整数 商域

有理数是特征为0的域最小的一个:所有其他特征为0的域都包含 的一个拷贝(即存在一个从 到其中的同构映射)。

 代数闭包,例如有理数多项式的根的域,是代数数域

所有有理数的集合是可数的,亦即是說 基數(或)與自然數集合 相同,都是阿列夫數 ,這是因為可以定義一個從有理數集 映至自然數集合的笛卡爾積  單射函數,而 是可數集合之故。因为所有实数的集合是不可数的,所以从勒贝格测度来看,可以认为绝大多数实数不是有理数。

有理数是个稠密的集合:任何两个有理数之间存在另一个有理数,事实上是存在无穷多个。

实数编辑

有理数是实数的紧密子集:每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是,僅有理数可化為有限连分数

依照它们的序列,有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的(稠密子集,因此它同时具有一个子空间拓扑。采用度量 ,有理数构成一个度量空间,这是 上的第三个拓扑。幸运的是,所有三个拓扑一致并将有理数转化到一个拓扑域。有理数是非局部紧致空间的一个重要的实例。这个空间也是完全不连通的。有理数不构成完备的度量空间实数 的完备集。

p进数编辑

除了上述的绝对值度量,还有其他的度量将 转化到拓扑域:

 素数,对任何非零整数  ,这里 整除  的最高次幂;

另外 。对任何有理数 ,设 

  上定义了一个度量

度量空间 不完备,它的完备集是p进数 

参见编辑

参考文献编辑

  1. ^ 三平方の定理 (ピタゴラスの定理) の歴史 - 何ゆえ有理数と呼ぶか ? - 名前の由来 -. asait.world.coocan.jp. 
  2. ^ Oxford English Dictionary 2nd. Oxford University Press. 1989.  Entry ratio, n., sense 2.a.
  3. ^ Oxford English Dictionary 2nd. Oxford University Press. 1989.  Entry rational, a. (adv.) and n.1, sense 5.a.