有界变差

有界變差（英語：Bounded variation）是函數的一個性質，它指的是總變差為有限的函數。

有界變差的理論對黎曼－斯蒂尔杰斯积分有相當的用處。

定義编辑

設 $\Delta f(x_{i})=f(x_{i})-f(x_{i-1})$ ，若一個定義於實數區間 $[a,b]$ 上的函數 $f$ 是有界變差函數，則存在一正數 $M$ ，對任意在區間 $[a,b]$ 上的（有限）分割 $P=\{a=x_{0},x_{1},.....,x_{n}=b\}$ 而言，有 $\sum _{i=1}^{n}|\Delta f(x_{i})|\leq M$ 。

另一個等價的定義為：定義一個跟函數 $f:[a,b]\mapsto \mathbb {R}$ 相關的量如下：

V_{a}^{b}(f)=\sup _{}\left\{\;\sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|\,:\,P\in {\mathcal {P}}\right\},\;

這裡的符號 ${\mathcal {P}}$ 代表在閉區間 [a, b] 上所有的（有限）分割。

f

為有界變差函數若且唯若

V_{a}^{b}(f)<\infty

。

其定義可推廣至複數域乃至於任何的歐幾里德空間上。

性質编辑

任意單調函數都是有界變差的。
设 $f$ 在區間 $[a,b]$ 上滿足Lipschitz條件，即存在常數 $K>0$ ，使得對於任意 $x',x''$ ，有 $|f(x')-f(x'')|\leq K|x'-x''|$ ，則 $f$ 在 $[a,b]$ 上是有界變差的。
若 $f$ 在區間 $[a,b]$ 上連續，且在區間的內部 $(a,b)$ 可微，若對於任意在 $f$ 定義域 $[a,b]$ 的內部 $(a,b)$ 的點 $x$ 而言，存在一正實數 $A$ 使得 $|f'(x)|\leq A$ ，則 $f$ 在 $[a,b]$ 上是有界變差的。
若 $f$ 在區間 $[a,b]$ 上是有界變差的，則 $f$ 在該區間上亦是有界的。
若 $f$ 在區間 $[a,b]$ 上是有界變差的，則其不連續點的數量是可數的。