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泛函分析此一數學分支裡,有界線性算子是指在賦範向量空間XY 之間的一種線性變換L,使得對所有X 內的非零向量vL(v) 的範數v 的範數間的比值會侷限在相同的數字內。亦即,存在一些M > 0,使得對所有在X 內的v

其中最小的M 稱為L算子范数

有界線性算子一般不會是有界函數;後者需要對所有的vL(v)的範數是有界的,但這只有在Y 為零向量空間時才有可能。然而,有界線性算符為局部有界函數

一個線性算子為有界的,若且唯若其為連續的。因此有界线性算子也被称为连续线性算子

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例子编辑

  • 任何在兩個有限維度賦範空間之間線性算符皆是有界的,且此類算符可以被視為某些固定矩陣的乘積。
  • 許多積分變換為有界線性算符。例如,設
 
為一連續函數,則算符L
 
(定義於由在  上的連續函數所組成的空間 ,賦予空間  均勻範數的值)是有界的。此一算符實際上也是緊緻的。緊緻算符在有界算符中是很重要的一類。
 
(其定義域為索伯列夫空間,值域在由平方可積函數所組成的空間內)是有界的。
  • 在由所有實數序列(x0, x1, x2...)(其中 )所組成的l2 空間上的位移算符
 
是有界的。其算符範數可輕易地看出為1。

有界和連續的等價编辑

如開頭所述,在賦範空間XY間的線性算子L 是有界的,若且唯若其為連續線性算子。證明如下:

  • L 是有界的,則對X內的所有向量vh(其中的h不為零),會有
 
  趨近於零,即可證明Lv 是連續的。甚至,因為常數M 不依賴v,可證明L 實際上是均勻連續的(更甚之,還是利普希茨連續的)。
  • 反過來,在零向量的連續性,允許存在一個 ,使得對所有X  的向量h 。因此,對所有'X 內的非零向量v,會有
 
這證明了L 是有界的。


參考資料编辑

  • Kreyszig, Erwin: Introductory Functional Analysis with Applications, Wiley, 1989

参见编辑