有限交集性质

点集拓扑学中,有限交集性质是集合 X 的子集的集合(子集族,即幂集 的子集)的性质。一个集合有这个性质如果这个集合的任何有限子集上的交集为非空。

定义编辑

  是集合,带有   子集族。则集合   有有限交集性质(fip),如果任何有限子集合   都有非空交集  

讨论编辑

这个条件被平凡的满足,如果在整个搜集上的交集非空(特别是如果这个搜集自身是空的);它还被平凡的满足,如果这个搜集是嵌套的,这意味着对于任何有限子搜集,这个子搜集的特定元素被包含在这个子搜集的所有其他元素中,比如嵌套的区间序列

(0, 1/n)。

有限交集性质可用于公式化紧致性的可供替代的定义:一个空间是紧致的,当且仅当所有满足有限交集性质的闭集的搜集自身都有非空交集。[1]。这个紧致性的公式化用于吉洪诺夫定理实数不可数性的一些证明中。

例子编辑

例如滤子通过定义有有限交集性质。

定理编辑

 ,  F 有有限交集性质。则存在一个   超滤子(在   中)使得  。详细证明参见 [2]

变体编辑

集合族 A强有限交集性质(sfip),如果所有 A 的有限子集合族有有限交集。

引用编辑

  1. ^ A space is compact if and only if the space has the finite intersection property on PlanetMath
  2. ^ Csirmaz, László and Hajnal, András: Matematikai logika. Eötvös Loránd University, Budapest, 1994. (online available, in Hungarian)