朗道分布

在概率论中，朗道分布（英語：Landau distribution）是因物理学家列夫·朗道而得名的一种概率分布。由于它所具有的「长尾」现象，这种分布的各阶矩（如数学期望与方差）都因发散而无法定义。这种分布是稳定分布的一个特例。

朗道分布

概率密度函數 $\mu =0,\;c=\pi /2$
参数	$c\in (0,\infty )$ — 宽度参数 $\mu \in (-\infty ,\infty )$ — 位置参数
值域	$\mathbb {R}$
概率密度函数	${\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{e^{-ct}\cos \left((x-\mu )t+{\frac {2ct}{\pi }}\log {t}\right)\,dt}$
期望值	无定义
方差	无定义
矩生成函数	无定义
特徵函数	$\exp \left(i\mu t-{\frac {2ict}{\pi }}\log |t|-c|t|\right)$

定义

标准朗道分布的概率密度函数由以下复积分式表示，

$p(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\!e^{s\log s+xs}\,ds,$

其中c为任意正实数，log 为自然对数。可以证明，上式结果与c的取值无关。在复平面上做围道积分，可得到便于计算的实积分式，

$p(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\!e^{-t\log t-xt}\sin(\pi t)\,dt.$

上式即 $\mu =0,\;c=\pi /2$ 的标准朗道分布概率密度函数。通过将标准朗道分布扩展到一个位置-尺度分布族，就可以获得完整的朗道分布族

$p(x;\mu ,c)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{e^{-ct}\cos \left((x-\mu )t+{\frac {2ct}{\pi }}\log {t}\right)\,dt}.$

其特徵函數可表示如下，

$\varphi (t;\mu ,c)=\exp \!\left(i\mu t-c|t|-{\frac {2ict}{\pi }}\log |t|\right),$

两个实参数的取值范围 $\mu \in (-\infty ,\infty )$，$c\in (0,\infty )$，调整 $\mu ,\;c$ 分别实现朗道分布的平移和缩放。

相关性质

朗道分布在 $\mu =0,\,c=1$ 的近似

从特征函数出发可以推导出：

• 平移：若 $X\sim {\textrm {Landau}}(\mu ,c)$ 则 $X+m\sim {\textrm {Landau}}(\mu +m,c)$。
• 缩放：若 $X\sim {\textrm {Landau}}(\mu ,c)$ 则 $aX\sim {\textrm {Landau}}(a\mu -2ac/\pi \cdot \log {a},\,ac)$。
• 可加性：若 $X\sim {\textrm {Landau}}(\mu _{1},c_{1}),\,Y\sim {\textrm {Landau}}(\mu _{2},c_{2})$ 则 $X+Y\sim {\textrm {Landau}}(\mu _{1}+\mu _{2},\,c_{1}+c_{2})$。

以上三条性质保证了朗道分布是一种稳定分布，它的稳定参数和偏度参数 $\alpha =\beta =1$。

当 $\mu =0,\,c=1$ 时，朗道分布可以近似表示为

$p(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}(x+e^{-x})\right\}.$