本原元定理

数学中,本原元定理精确刻画了什么时候对于一个域扩张E/FE可以表示为的形式,即E可以由单个元素生成。

定理编辑

一个有限扩张E/F有本原元,即存在 使得 ,当且仅当EF之间只有有限个中间域。

证明编辑

如果 有限域,由于 有限扩张,推得 也是有限域。但是由于有限域的乘法群是循环群,任取这个乘法群的一个生成元, 可以由这个生成元生成。所以在 是有限域的情况下,定理左右两边恒为真。

如果 是无限域,但是只有有限个中间域。 先证明一个引理:假设 并且  之间只有有限个中间域,那么存在一个 使得 。引理的证明如下:当 取遍 的时候,对于每一个 可以做一个中间域 。但是由假设,只有有限个中间域,因此必定存在 使得 。由于 都在这个域里,推得 也在这个域里。由于 ,推得 在这个域里,于是 也在这个域里,因此 ,于是 。引理证毕。

由于有限扩张总是有限生成的,推得 (对于 )。利用归纳法以及引理可以得出,如果 之间只有有限个中间域,那么 可以由单个元素生成。

而如果 ,假设   上的极小多项式 是任意一个中间域,   上的极小多项式。显然 。由于域上的多项式环唯一分解环 只有有限个因子。而对于每一个 ,如果 写作 ,并令 。显然  的一个子域,因此  上依然是不可约的。而同时 ,因此可以得到 。这样立即推 ,于是任何一个中间域 对应唯一的一个 的因子 。于是中间域个数小于因子的个数。但因子个数是有限的,因此中间域个数有限。证毕。

推论编辑

  • 由于有限可分扩张只有有限个中间域,由本原元定理立刻推出这个扩张有单个生成元

参见编辑

参考文献编辑