本迪克森-杜拉克定理

数学裡,本迪克森-杜拉克定理说明了对于一个二维的驻定动力系统

如果存在使得

在研究区域(必须是单连通的)上几乎处处成立,那么这个动力系统不存在周期解。所谓“几乎处处成立”是指不成立的点的集合是一个测度为零的集合。这个定理可以用格林定理证出。

证明编辑

运用反证法,假设研究区域为单连通的区域  ,其内存在对于动力系统:

 
 

的一组周期解 ,其周期为 ,那么对于

 

所围成的区域 ,有

 
 

但是由于使得   的点   的集合是一个测度为零的集合,所以总可以找到   使得 在零点之外不变号。这样 不可能为0,矛盾!

因此周期解不存在,定理得证。

参见编辑

参考资料编辑

  • 王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松,《常微分方程》(第三版),297页,高等教育出版社。
  • MICHAL FECKAN,A GENERALIZATION OF BENDIXSON'S CRITERION,Proceedings of The

American Mathematical Society, Volume 129, Number 11, Pages 3395-3399,S 0002-9939(01)06107-X, Article electronically published on April 25, 2001[1]