# 构造性证明

（重定向自构造法

## 例子

### 非构造性证明

CURIOSA
339. 对一个无理数的无理数次方可以是有理数的简单证明
${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$ 要么是有理数，要么是无理数。如果它是有理数，那么我们的命题得证。如果它是无理数，${\displaystyle ({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}})^{\sqrt {2}}=2}$ ，我们的命题得证。
Dov Jarden     Jerusalem

• 我们在先前已经知道${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 是无理数，2是有理数。考虑数字${\displaystyle q={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$ ，它要么是有理数，要么是无理数。
• 如果${\displaystyle q}$ 是有理数，那么原命题成立，此时${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ 都是${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
• 如果${\displaystyle q}$ 是无理数，那么原命题也成立，此时${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ，由于：
${\displaystyle \left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}})}={\sqrt {2}}^{2}=2}$

### 构造性证明

${\displaystyle a={\sqrt {2}}\,,\quad b=\log _{2}9\,,\quad a^{b}=3\,.}$

## 参见

• ^ J. Roger Hindley, "The Root-2 Proof as an Example of Non-constructivity", unpublished paper, September 2014, full text 互联网档案馆存檔，存档日期2014-10-23.
• ^ Dov Jarden, "A simple proof that a power of an irrational number to an irrational exponent may be rational", Curiosa No. 339 in Scripta Mathematica 19:229 (1953)