林德勒夫空間

Lindelöf 空間是每個覆盖都有可數子覆蓋的拓撲空間。注意緊空間的定義為每個開覆蓋都有有限子覆蓋,因此林德勒夫空間可以視為緊空間的推廣。如果一個拓樸空間的所有子空間都是 Lindelöf 空間,那麼這個拓樸空間我們稱之為可傳 Lindelöf 空間 (Hereditarily Lindelöf Space)強 Lindelöf 空間,但後者因為模糊且容易混淆而較少使用。

Lindelöf 空間是以芬蘭數學家 Ernst Leonard Lindelöf 的名字命名。

Lindelöf 空間的性質编辑

  • 每個緊空間,或更廣義地說,每個 σ-緊空間都是 Lindelöf 的。每個可數空間都是 Lindelöf 的。
  • 一個 Lindelöf 空間是緊的若且唯若它是可數緊的。
  • 每個第二可數空間都是 Lindelöf 的,反之則不然。例如,有許多緊空間並非第二可數的。
  • 一個度量空間是 Lindelöf 的若且唯若它是可分的,並若且唯若它是第二可數的。
  • 每個正則 Lindelöf 空間都是正規仿緊的。
  • 對於一個拓樸空間的可數多個 Lindelöf 子空間,其聯集是 Lindelöf 的。
  • Lindelöf 空間的每個閉子空間都是 Lindelöf 的。所以每個 Lindelöf 空間中的 Fσ都是 Lindelöf 的。
  • Lindelöf 空間的任意子空間不一定是 Lindelöf 的。
  • Lindelöf 空間的連續是 Lindelöf 的。
  • Lindelöf 空間與緊空間的積空間是 Lindelöf 的。
  • Lindelöf 空間與 σ-緊空間的積空間是 Lindelöf 的。這是前一個性質的推論。
  • 即使是有限個 Lindelöf 空間的積空間都未必是 Lindelöf 空間,例如,Sorgenfrey直線   是 Lindelöf 的,但 Sorgenfrey平面   並非 Lindelöf 的。
  • Lindelöf 空間中,每個由非空子集組成的局部有限族最多是可數的。

可傳 Lindelöf 空間的性質编辑

  • 一個空間是可傳 Lindelöf 的若且唯若它的每個開子空間都是 Lindelöf 的。
  • 可傳 Lindelöf 空間對於取可數多聯集、子空間及連續像有封閉性。
  • 一個正則 Lindelöf 空間是可傳 Lindelöf 的若且唯若它是完美正規的。
  • 每個第二可數空間都是可傳 Lindelöf 的。
  • 每個可數空間都是可傳 Lindelöf 的。
  • 每個蘇斯林空間 (Suslin space) 都是可傳 Lindelöf 的。
  • 每個可傳 Lindelöf 空間的拉東測度 (Radon measure) 都是 moderated。

一般化编辑

以下的定義將緊緻與 Lindelöf 一般化。如果一個拓樸空間的每個開覆蓋都有一個基數嚴格小於   的子覆蓋,那麼我們稱這個拓樸空間是  -緊(或  -Lindelöf)的,其中   是任意基數。根據這個定義,緊空間是  -緊的,而 Lindelöf 是  -緊的。

Lindelöf 度數 (Lindelöf degree),或稱 Lindelöf 數 (Lindelöf number),以   表示,是使得「拓樸空間   的每個開覆蓋,都有不比   大的子覆蓋」的最小基數  。 用符號表示即是:如果   那麼   是 Lindelöf 的。注意前述所定義的 Lindelöf 度數並未區分緊空間與 Lindelöf 非緊空間。有些作者用「Lindelöf 度數」表達不同的概念:使得「拓樸空間   的每個開覆蓋,都有大小嚴格地小於   的子覆蓋」的最小基數  。對於後者(且較少使用)的這種定義而言,Lindelöf 度數是使得「一個拓樸空間   -緊」的最小基數。這樣的概念有時候也被稱為空間   的緊緻性度數 (compactness degree)。

相關條目编辑

參考文獻编辑