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林德曼-魏尔斯特拉斯定理

数论的定理

林德曼-魏尔斯特拉斯定理Lindemann–Weierstrass theorem)是一个可以用于证明实数的超越性的定理。它表明,如果 是代数数,在有理数 内是线性独立的,那么在  内是代数独立的;也就是说,扩张域在  内具有超越次数n

一个等价的表述是:如果是不同的代数数,那么指数在代数数范围内是线性独立的。

这个定理由林德曼魏尔斯特拉斯命名。林德曼在1882年证明了对于任何非零的代数数都是超越数,因此推出了圆周率是超越数。魏尔斯特拉斯在1885年证明了一个更一般的结果。

这个定理,以及格尔丰德-施奈德定理,可以推广为Schanuel猜想

e和π的超越性编辑

eπ的超越性是这个定理的直接推论。

假设 是一个非零的代数数,那么 在有理数范围内是线性独立的集合,因此根据定理的第一种表述, 是一个代数独立的集合,也就是说, 是超越数。特别地, 是超越数

另外,利用定理的第二种表述,我们可以证明,如果 是一个非零的代数数,那么 就是不同的代数数的集合,因此集合 在代数数范围内是线性独立的,特别地, 不能是代数数,因此一定是超越数。

现在,我们来证明 是超越数。如果π是代数数, 也是代数数(因为 是代数数),那么根据林德曼-魏尔斯特拉斯定理,  (参见欧拉公式)也是超越数,这与1是代数数的事实矛盾。

把这个证明稍微改变以下,可以证明如果 是一个非零的代数数,那么   和它们的双曲函数也是超越数。

进数猜想编辑

 进数林德曼-魏尔斯特拉斯猜想,就是这个定理在p进数中也成立:假设 素数  进数,它们都是代数数,且在内线性独立,使得对于所有的 ,都有 。那么p进指数 内是代数独立的。

参见编辑

参考文献编辑

  • Baker, Alan, Transcendental Number Theory, Cambridge University Press, 1975, ISBN 052139791X 

外部链接编辑