柯西中值定理

柯西中值定理,也叫拓展中值定理,是拉格朗日中值定理的推广,是微分学的基本定理之一。

中值定理

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内容编辑

如果函数  满足

  1. 在闭区间 上连续;
  2. 在开区间 内可微分;
  3. 对任意 

那么在 内至少有一点 ,使等式

 

 
柯西定理的几何意义
 

成立。

其几何意义为:用参数方程表示的曲线上至少有一点,它的切线平行于两端点所在的

但柯西定理不能表明在任何情况下不同的两点(f(a),g(a))和(f(b),g(b))都存在切线,因为可能存在一些c值使f′(c) = g′(c) = 0,换句话说取某个值时位于曲线的驻点;在这些点处,曲线根本没有切线。下面是这种情形的一个例子

 

在区间[−1,1]上,曲线由(−1,0)到(1,0),却并无一个水平切线;然而它有一个驻点(实际上是一个尖点)在t = 0时。

柯西中值定理可以用来证明洛必达法则. 拉格朗日中值定理是柯西中值定理当g(t) = t时的特殊情况。

证明编辑

首先,如果 ,由罗尔定理,存在一点 使得 ,与条件3矛盾。所以 

 。那么

  1.   上连续,
  2.   上可导,
  3.  。由罗尔定理,存在一点 使得 。即 。命题得证。

参见编辑