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微積分中,柯西主值是為某類原來發散反常積分指派特定數值的方式,為紀念數學家柯西而得此名。

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第一類反常積分编辑

第一類反常積分,稱為無窮積分,指積分區間的上限或下限為無窮的積分。

設函數 f (x)(–∞,+∞) 上連續且可積。可定義以下第一類反常積分:

 

其中 c 是區間上任意一點。

上式中兩個極限皆收斂,這反常積分才定義為收斂。若任意其一發散,則此積分發散。在這裡,兩個極限須分別處理,即兩者的收斂速度可能不同。但在柯西主值的理解下,可假設兩個極限的收斂速度相同,即:

 

若在相同收斂速度下,兩者可以互相抵消,則該積分的柯西主值存在。舉例來說:

 

根據定義,若無窮積分收斂,則其柯西主值收斂,且二者相等。但無窮積分的柯西主值收斂,該積分未必收斂。

第二類反常積分编辑

第二類反常積分,稱為瑕積分,指被積函數在積分區間中含有不連續點的積分。

設函數 f (x)(a, b) 上連續且可積,但在點 ab 不連續。可定義以下第二類反常積分:

 

其中 c 是區間上任意一點。

設函數 g (x)[a, c)(c, b]上連續且可積,但在點 c 不連續。可定義以下第二類反常積分:

 

同樣地,上式中兩個極限皆收斂,這反常積分才定義為收斂。若任意其一發散,則此積分發散。在這裡,兩個極限的收斂速度可能不同。但在柯西主值的理解下,可假設兩個極限的收斂速度相同,即:

 
 

若在相同收斂速度下,兩者可以互相抵消,則該積分的柯西主值存在。

根據定義,若瑕積分收斂,則其柯西主值收斂,且二者相等。但瑕積分的柯西主值收斂,該積分未必收斂。

對於區間上有多個不連續點的積分,可由類似方式定義廣義的柯西主值。

混合反常積分编辑

有些時候,無窮積分和瑕積分能同時出現。設函數 f (x)(–∞, c)(c, ∞)上連續且可積,但在點 c 不連續。我們能用以下方式計算其柯西主值:

 

計算問題编辑

在計算積分的柯西主值時,使用換元積分法可能會導致歧義。例如在計算   時,

 

但若使用換元   

 

在上面的兩個結果中,第一個才是正確的。第二個計算方式中,由於使用換元取代時,兩個極限的收斂速度改變了。當兩者的改變不對稱時,就會得到不一樣的結果。要避免這樣的情形,我們應避免使用換元取代的方法求柯西主值。

名稱和記號编辑

有些作者會把柯西主值直接叫作「主值」(principal value)。但這和多值函數的主值是沒有關係的。

不同作者會使用不同的記號表示積分的柯西主值。以下是常見的記號:

 
 
 

參考文獻编辑

參見编辑