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数学上,以法国数学家奧古斯丁·路易·柯西命名的柯西乘积,是指两组数列的离散卷积

该数列乘积被认为是自然数的半群环的元素。

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级数编辑

一个特别重要的例子是考虑两个严格的形式级数(不需要收敛 

 

一般地,对于实数复数柯西乘积定义为如下的离散卷积形式:

 
这里  

“形式”是指我们对级数运算时不考虑是否收敛,参见形式幂级数

人们希望,通过对两组级数做实际卷积的有限和的类推,得到无穷级数

 

等于如下乘积:

 

就如同两个数列的和是有限范围一样做乘法。

在充分良态well-behaved)的情况下,上述式子成立。而更重要的一点,尽管这两个无穷级数可能不收敛,它们的柯西乘积仍可能存在。

示例编辑

有穷级数编辑

对于  ,有   即为有穷级数,则   柯西乘积可以展开为 ,因此可以直接计算乘积。

无穷级数编辑

  • 对某些 ,构造  ,由定义和二项式展开可知:
 

形式上,   ,我们已表明 。由于该两个绝对收敛数列的柯西乘积等于两个数列极限的乘积,(见下面的证明),因此我们就可证明这个表达式对于   

  • 另外一个例子,令  ),则  对所有 成立,则柯西乘积   ,该乘积不收敛。

收敛和梅尔滕斯定理编辑

x, y为实数数列,弗兰兹·梅尔滕斯(Franz Mertens)提出,如果级数 收敛Y,且级数 绝对收敛X,则他们的柯西乘积  收敛到XY

对于两个级数为条件收敛时,结论未必成立。如下例所示:

例子编辑

考虑下述两交错级数

 

它们都是收敛的(其绝对值构成的级数因比较审敛法调和级数的发散性而发散)。其柯西乘积的项由下式给出:

 

其中整数 n ≥ 0。因为对于所有 k ∈ {0, 1, ..., n} 我们都有不等式 k + 1 ≤ n + 1nk + 1 ≤ n + 1,故对分母中的根式有 (k + 1)(nk + 1)n +1。因此,由于共有 n + 1 个被加项,故对于所有的整数 n ≥ 0

 

因此,cnn → ∞ 时并不趋于 0,级数 cn 发散(项测试)。

梅尔滕斯定理的证明编辑

   ,重排后 

 ,对任意给定的 ε > 0,因为 绝对收敛, 收敛,因此存在一个整数N,对于任意nN   ,和存在一个正整数M,对于所有   ,有 (由级数收敛,则式子收敛到0),同样的,存在一个整数L ,如果有  ,则  

因此,对于所有n大于N, M, L,有:

 

根据收敛的定义,即: 

切萨罗定理编辑

如果xy是实数数列,且  ,则有:

 

推广编辑

所有上述证明也可推广到 复数级数。柯西乘积可以定义在乘法为内积欧式空间 上。这种情况下,如果两组数列绝对收敛,则柯西乘积绝对收敛到数列极限的内积 。

与卷积函数的关系编辑

我们可以定义柯西乘积为双向无限数列,视为 上的函数。这种情况并非总能定义柯西乘积。例如:常数级数1和其本身的柯西乘积, 

有的有一些配对,比如任何级数与一个有限级数的乘积, 的乘积,这与Lp空间有关。