打开主菜单

柯西函數方程是以下的函數方程

此方程的解被稱為加性函數

方程的解编辑

有理數的範圍中,可以用簡單的代數得到唯一一類的解,表示為 ,其中 任意給定的有理數。

實數中,這個方程仍然有這一類解,然而存在著其他非常複雜的解,函數 f 經常被外加條件以排除那些複雜的解。例如:

  • f連續的 (由柯西於1821年證明)。這個條件在1875年被達布弱化,證明 f 只需要在一點連續。
  • f 在任一個區間上是單調
  • f 在任一個區間上是有界

另一方面,如果函數 f 沒有其他限制條件,那麼滿足方程的函數有無窮多個(假設選擇公理成立)。這在1905年由喬治·哈梅爾英语Georg Hamel使用的概念證明。

希爾伯特的第五個問題是這個方程的推廣。

存在實數 使得 的解稱為柯西─哈默方程(英語:Cauchy-Hamel function(s))。在希爾伯特的第三個問題中,往高維度的推廣所用的德恩-哈德維格不變量(英語:Dehn-Hadwiger invariant(s)),其中就用到柯西-哈默方程。[1]

在有理數集下的證明编辑

先設 ,得到:

 
 

再設 

 
 

反覆設  、...、 ,可以得到

 ...(1)

 並代入(1)式得到:

 
或者 ...(2)

對於任意有理數 ,設 ,根據(1)、(2)兩式可知:

 

上式又可改寫為

 

 就可以得到在有理數下的唯一解。

其他解的性質编辑

以下的證明將顯示(若存在)線性函數以外的解,該解是相當病態英语Pathological (mathematics)的函數。我們將證明這個函數f所對應的圖形  稠密,亦即在平面上任何給定的圓都至少包含該圖形的一個點,我們將從這個定義著手證明。

不失一般性,假設解f滿足 ,且能找到實數 滿足 ,同時設 

任意給定一個圓,其內部必能找到一個小圓以點 為圓心,其中滿足 。令實數 為半徑的 倍,即半徑為 

 ,存在一個有理數 滿足:

 

類似地,存在一個有理數 使得:

 

設實數X,Y滿足:

 
 

從原方程和以上的關係式可以得知:

 
 
 
 
 

由以上關係式可知 

 在指定的小圓內,

於是 在原本較大的圓內;

即在 中任意給定的圓內皆包含 圖形的一點;

 的圖形在 中稠密,得證。

另一方法:如f 不是线性函数,存在  独立。任取 ,  ,   是有理数序列的极限,  f 的图形的聚点。

其他解的形式與證明编辑

與有理數的情形使用相同的方式,可以證明線性解的證明在任意的集合 上也成立,其中 (表示所有有理數乘上 的積的集合,以下亦同)
我們可以透過這點找出函數方程的所有解。但這個方式極度地不可構造,而且是以選擇公理為基礎得到的。

在承認選擇公理的前提下,在 上存在一個 基底,也就是這樣的集合:  ,使得對於任何實數 ,存在唯一的有限集合   以及唯一對應的   個有理數 ,滿足:

 

設想函數方程在實數集的子集 上成立,即滿足 ,其中    的有理數倍。 運用前面推導的結論,得到對任意實數滿足方程的函數:

 

對於所有 ,以上  是函數方程的解。其中  為線性的充要條件是  是常數函數。

參考資料编辑

  1. ^ V.G. Boltianskii (1978) "Hilbert's third problem", Halsted Press, Washington

外部連結编辑