柯西-施瓦茨不等式

數學上，柯西-施瓦茨不等式，又稱施瓦茨不等式或柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式，是一條很多場合都用得上的不等式；例如線性代數的矢量，數學分析的無窮級數和乘積的積分，和概率論的方差和協方差。它被认为是最重要的数学不等式之一。它有一些推广，如赫尔德不等式。

不等式以奧古斯丁·路易·柯西（Augustin Louis Cauchy），赫爾曼·阿曼杜斯·施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz），和維克托·雅科夫列維奇·布尼亞科夫斯基（Виктор Яковлевич Буняковский）命名。

叙述

柯西-施瓦茨不等式叙述，对于一个內積空間所有向量x和y，

${\big |}\langle x,y\rangle {\big |}^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle$。

其中$\langle \cdot ,\cdot \rangle$表示內積，也叫点积。等价地，将两边开方，引用向量的范數，不等式可写为

$|\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\cdot \|y\|.\,$

另外，等式成立當且僅當x和y線性相關（或者在几何上，它们是平行的，或其中一个向量的模为0）。

若$x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {C}$和$y_{1},\ldots ,y_{n}\in \mathbb {C}$有虚部，内积即为标准内积，用拔标记共轭复数那么这个不等式可以更明确的表述为

$|x_{1}{\bar {y}}_{1}+\cdots +x_{n}{\bar {y}}_{n}|^{2}\leq (|x_{1}|^{2}+\cdots +|x_{n}|^{2})(|y_{1}|^{2}+\cdots +|y_{n}|^{2}).$

柯西—施瓦茨不等式的一個重要結果，是內積為連續函數，甚至是满足1阶利普希茨条件的函数。

特例

• 對歐幾里得空間Rⁿ，有

$\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)$。

等式成立時：

${\frac {x_{1}}{y_{1}}}={\frac {x_{2}}{y_{2}}}=\cdots ={\frac {x_{n}}{y_{n}}}.$

也可以表示成

$(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\geq (x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})^{2}$

證明則須考慮一個關於$t$的一個一元二次方程式 $(x_{1}t+y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}t+y_{n})^{2}=0$

很明顯的，此方程式無實數解或有重根，故其判別式$D\leq 0$

注意到

$(x_{1}t+y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}t+y_{n})^{2}\geq 0$

⇒$(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})t^{2}+2(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})t+(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\geq 0$

則

$D=4(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})^{2}-4(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\leq 0$

即

$(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\geq (x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})^{2}$

$(x_{1}t+y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}t+y_{n})^{2}=0$

$(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\geq (x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})^{2}$

而等號成立於判別式$D=0$時

也就是此時方程式有重根，故

${\frac {x_{1}}{y_{1}}}={\frac {x_{2}}{y_{2}}}=\cdots ={\frac {x_{n}}{y_{n}}}.$

• 對平方可積的複值函數，有

$\left|\int f^{*}(x)g(x)\,dx\right|^{2}\leq \int \left|f(x)\right|^{2}\,dx\cdot \int \left|g(x)\right|^{2}\,dx$。

這兩例可更一般化為赫爾德不等式。

• 在3維空間，有一個較強結果值得注意：原不等式可以增強至拉格朗日恒等式

$\langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle =|\langle x,y\rangle |^{2}+|x\times y|^{2}$。

这是

$\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)-\left(\sum _{1\leq i<j\leq n}(x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i})^{2}\right)$

在n=3 时的特殊情况。

矩阵不等式

设$x,y$为列向量，则$|x^{*}y|^{2}\leq x^{*}x\cdot y^{*}y$

x=0時不等式成立，设x非零，$z=y-{\cfrac {y^{*}x}{\|x\|^{2}}}x$，则$x^{*}z=0$

$0\leq \|z\|^{2}=z^{*}y=\|y\|^{2}-{\cfrac {x^{*}y}{\|x\|^{2}}}x^{*}y=\|y\|^{2}-{\cfrac {|x^{*}y|^{2}}{\|x\|^{2}}}$

$|x^{*}y|^{2}\leq \|x\|^{2}\|y\|^{2}$

等号成立$\Leftrightarrow z=0\Leftrightarrow y$与$x$线性相关

设$A$为$n\times n$Hermite阵，且$A\geq 0$，则$|x^{*}Ay|^{2}\leq x^{*}Ax\cdot y^{*}Ay$

存在$A^{1/2}$，设$u=A^{1/2}x,v=A^{1/2}y$

$|u^{*}v|^{2}\leq u^{*}u\cdot v^{*}v$

$|x^{*}A^{1/2}A^{1/2}y|^{2}\leq x^{*}A^{1/2}A^{1/2}x\cdot y^{*}A^{1/2}A^{1/2}y$

$|x^{*}Ay|^{2}\leq x^{*}Ax\cdot y^{*}Ay$

等号成立$\Leftrightarrow y$与$x$线性相关

设$A$为$n\times n$Hermite阵，且$A>0$，则$|x^{*}y|^{2}\leq x^{*}Ax\cdot y^{*}A^{-1}y$

存在$A^{1/2},A^{-1/2}$，设$u=A^{1/2}x,v=A^{-1/2}y$

$|u^{*}v|^{2}\leq u^{*}u\cdot v^{*}v$

$|x^{*}A^{1/2}A^{-1/2}y|^{2}\leq x^{*}A^{1/2}A^{1/2}x\cdot y^{*}A^{-1/2}A^{-1/2}y$

$|x^{*}y|^{2}\leq x^{*}Ax\cdot y^{*}A^{-1}y$

等号成立$\Leftrightarrow x$与$A^{-1}y$线性相关

若$\displaystyle q_{i}\geq 0,\sum _{i}q_{i}=1$，则$\displaystyle (x^{*}A^{\sum _{i}a_{i}q_{i}}x)\leq \prod _{i}(x^{*}A^{a_{i}}x)^{q_{i}}$

复变函数中的柯西不等式

设 $f(z)$在区域D及其边界上解析，$a$ 为D内一点，以$a$为圆心做圆周 $C_{R}:|z-a|=R$，只要$C_{R}$及其内部G均被D包含，则有：

$\left|f^{(n)}(z_{0})\right|\leq {\frac {n!M}{R^{n}}}\qquad (n=1,2,3,...)$

其中，M是$|f(z)|$的最大值，$M=\max \limits _{|x-a|\in R}|f(x)|$ 。

其它推广

${\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(\sum _{j=1}^{m}a_{ij})^{2}}}\leq \sum _{j=1}^{m}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}a_{ij}^{2}}}$

$m\geq \alpha >0,(\sum _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{m}a_{ij})^{\alpha }\leq \prod _{j=1}^{m}\sum _{i=1}^{n}a_{ij}^{\alpha }$

參見

• 三角不等式
• 內積空間