对于一个內積空間中的向量x和y,有
- 。
其中 表示內積,也叫点积。等价地,将两边开方,等式右边即可以写为两向量範數乘积的形式。
-
另外,當且僅當x和y線性相關时,等式成立(仅两个向量而言,线性相关等同于平行)。
若 和 有虚部,内积即为标准内积。如果用拔(bar,上划线)标记共轭复数,这个不等式可以更明确地表述为
-
由柯西—施瓦茨不等式可以推得一个重要结果:內積是连续的,甚至满足一阶利普希茨条件。
- 。
等式成立時:
-
也可以表示成
證明則須考慮一個關於 的一個一元二次方程式
很明顯的,此方程式無實數解或有重根,故其判別式
注意到
⇒
則
即
而等號成立於判別式 時
也就是此時方程式有重根,故
- 。
這兩例可更一般化為赫爾德不等式。
- 。
- 这是
-
- 在n=3 时的特殊情况。
矩阵不等式编辑
设 为列向量,则 [a]
- x=0時不等式成立,设x非零, ,则
-
-
- 等号成立 与 线性相关
设 为 Hermite阵,且 ,则
- 存在 ,设
-
-
-
- 等号成立 与 线性相关
设 为 Hermite阵,且 ,则
- 存在 ,设
-
-
-
- 等号成立 与 线性相关[1]
若 ,则 [2]
复变函数中的柯西不等式编辑
[3]
[4]
- ^ 表示x的共轭转置。
- ^ 王松桂. 矩阵不等式-(第二版).
- ^ 程伟丽 齐静. Cauchy不等式矩阵形式的推广. 郑州轻工业学院学报(自然科学版). 2008, (4) [2015-03-24]. (原始内容存档于2019-06-08).
- ^ 赵明方. Cauchy不等式的推广. 四川师范大学学报(自然科学版). 1981, (2) [2015-03-24]. (原始内容存档于2019-06-03).
- ^ 洪勇. 推广的Cauchy不等式的再推广. 曲靖师范学院学报. 1993, (S1) [2015-03-24]. (原始内容存档于2019-06-03).