柯西-施瓦茨不等式

在許多不同的設置中遇到的有用的不等式,例如線性代數,分析,概率論,向量代數和其他領域。 它被認為是所有數學中最重要的不等式之一

數學上,柯西-施瓦茨不等式,又稱施瓦茨不等式柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式,是一條很多場合都用得上的不等式;例如線性代數矢量數學分析無窮級數和乘積的積分,和概率論方差協方差。它被认为是最重要的数学不等式之一。它有一些推广,如赫尔德不等式

不等式以奧古斯丁·路易·柯西(Augustin Louis Cauchy),赫爾曼·阿曼杜斯·施瓦茨(Hermann Amandus Schwarz),和維克托·雅科夫列維奇·布尼亞科夫斯基英语Viktor_Bunyakovsky(Виктор Яковлевич Буняковский)命名。

叙述编辑

对于一个內積空間中的向量xy,有

 

其中 表示內積,也叫点积。等价地,将两边开方,等式右边即可以写为两向量范數乘积的形式。

 

另外,當且僅當xy線性相關时,等式成立(仅两个向量而言,线性相关等同于平行)。

  有虚部,内积即为标准内积。如果用拔(bar,上划线)标记共轭复数,这个不等式可以更明确地表述为

 

由柯西—施瓦茨不等式可以推得一个重要结果:內積是连续的,甚至满足一阶利普希茨条件

特例编辑

 

等式成立時:

 

也可以表示成

 

證明則須考慮一個關於 的一個一元二次方程式  

很明顯的,此方程式無實數或有重根,故其判別式 

注意到

 

 

 

 

 

 

而等號成立於判別式 

也就是此時方程式有重根,故

 

  • 對平方可積的複值函數,有
 

這兩例可更一般化為赫爾德不等式

 
这是
 
n=3 时的特殊情况。

矩阵不等式编辑

 列向量,则 [a]

x=0時不等式成立,设x非零, ,则 
 
 
等号成立  线性相关

  Hermite阵,且 ,则 

存在 ,设 
 
 
 
等号成立  线性相关

  Hermite阵,且 ,则 

存在 ,设 
 
 
 
等号成立  线性相关[1]

 ,则 [2]

复变函数中的柯西不等式编辑

 在区域D及其边界上解析,  为D内一点,以 为圆心做圆周  ,只要 及其内部G均被D包含,则有:

 

其中,M是 的最大值, 

其它推广编辑

 [3]

 [4]

參見编辑

注释编辑

  1. ^  表示x的共轭转置

参考资料编辑

  1. ^ 王松桂. 矩阵不等式-(第二版). 
  2. ^ 程伟丽 齐静. Cauchy不等式矩阵形式的推广. 郑州轻工业学院学报(自然科学版). 2008, (4). 
  3. ^ 赵明方. Cauchy不等式的推广. 四川师范大学学报(自然科学版). 1981, (2). 
  4. ^ 洪勇. 推广的Cauchy不等式的再推广. 曲靖师范学院学报. 1993, (S1).