计算机科学中,柯里化(英語:Currying),又译为卡瑞化加里化,是把接受多个参数函数变换成接受一个单一参数(最初函数的第一个参数)的函数,并且返回接受余下的参数而且返回结果的新函数的技术。这个技术由克里斯托弗·斯特雷奇以逻辑学家哈斯凱爾·加里命名的,尽管它是Moses Schönfinkel戈特洛布·弗雷格发明的。

在直觉上,柯里化声称「如果你固定某些参数,你将得到接受余下参数的一个函数」。所以对于有两个变量的函数,如果固定了,则得到有一个变量的函数

理论计算机科学中,柯里化提供了在简单的理论模型中,比如:只接受一个单一参数的lambda演算中,研究带有多个参数的函数的方式。

函数柯里化的对偶是Uncurrying,一种使用匿名单参数函数来实现多参数函数的方法。例如:

var foo = function(a) {
  return function(b) {
    return a * a + b * b;
  }
}

这样调用上述函数:(foo(3))(4),或直接foo(3)(4)

動机

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柯里化是一種處理函數中附有多個參數的方法,並在只允許單一參數的框架中使用這些函數。例如,一些分析技術只能用於具有單一參數的函數。現實中的函數往往有更多的參數。弗雷格表明,為單一參數情況提供解決方案已經足夠了,因為可以將具有多個參數的函數轉換為一個單參數的函數鏈。這種轉變是現在被稱為“柯里化”的過程。

在數學分析或計算機編程中,所有可能遇到的“普通”函數都可以被使用。但是,有些類別不可能使用柯里化;確實允許柯里化的最普通的類別是閉合的monoidal類別。一些編程語言幾乎總是使用curried函數來實現多個參數;值得注意的例子是 ML 和 Haskell,在這兩種情況下,所有函數都只有一個參數。這個屬性是從lambda演算繼承而來的,其中多參數的函數通常以柯里形式表示。

柯里化與部份求值是相關的,但不完全相同。在實作中,閉包的編程技術可以用來執行部份求值和一種捲曲,通過將參數隱藏在使用柯里化函數的環境中。

部份求值

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柯里化有如倣效接受多個參數的函數評估過程,若以紙筆手工作業,要週密地寫出評估過程中的所有步驟。

例如,給定某一函數  :

要評估   時,首先以  代入  
因為結果會是函數  的輸出,所以可定義為一個新函數   
接下來將  參數以  替換,產生了  

在紙上使用傳統符號,上述過程通常是一次代入兩個參數  的值就完成了。
而每個參數其實是依次序替換,在每一步替換的中介函數只能接受單一個參數。

以上範例有點缺陷,雖然應用上類似函數的部份求值。對柯里化的過程來說,但並非完全相同(見下文)。

示例

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柯里化(Currying)是產生一系列連鎖函數的一種方法,其中每個函數只有一個參數。藉由另一個柯里化之後的新函數,傳回其它剩餘參數的功能,將原本以多個參數應用的函數“隱藏”起來,如下所述。

給定帶有 xy兩個參數的函數 f,也就是,

 

然後可以構造一個與原來的 f 相關的新函數 hx。這個函數的形式只有單一參數 y,並給定該參數,則 hx 返回 f(x,y)。也就是,

 .

在這裡應該了解 h上的下標 x是當成隱藏作用的符號設施,或者說把一個參數放在一邊,使原函數變成只帶一個參數。柯里化(Currying)提供了符號標記上的技巧,將函數因而抽象化。

這個技巧要利用 map或函數構造子。符號  用於表示抽象化的實際行為。 例如以 解析失败 (SVG(MathML可通过浏览器插件启用):从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle y \mapsto z} 這樣子來表示:某個函數將一個參數 y映射到結果 z

然後考慮從 hx 記號中刪掉下標 x,就得到了一個 柯里化表示的代表符 h; 而成為另一個給予 x 能把其“值”傳回的不同函數 hx;它恰好是一個函數構造,其映射過程 可以用   語句來表達,或者描述為一個將參數 y映射到結果 z的函數。也就是,

 ,

用不同代表符號(但意義相同)來看,

 

函數 h 本身現在可用 hx 相似的表示,並寫成

 

能夠負責並處理對開頭涉及的函數參數。鑑於上述情況,柯里化的行為可被理解為一函數,給予某些任意的 f,即涉及相關的 h函數可以產生 h的所述功能;論及 f。也就是,

 

或相當於

 

這說明了柯里化的基本性質:它是參數重新定位的機制,將原函數中的每一個參數綁定到不同的新函數,而返回另一個相關的函數。也就是給定函數 f原本傳回一個“值”,則柯里化“構造”了一個新函數 h 而傳回的是涉及 f的函數。另一種理解柯里化的不同方式,則意識到它只是一個代數遊戲,符號的句法重新排列。人們不會問這些符號的“含義”是什麼; 一個人只同意他們的重新排列規則。 要看出這一點,注意原來的函數 f本身可能寫成

 

與上面的函數 h互相比較,可以看出這兩種形式都重新排列了括號,以及將逗號轉換為箭頭。回到前面的例子,

 

然後有,

 

作為上例柯里化的相等物。 添加一個參數到 g 然後給出

 

以及

 

剝除參數的方法或許更容易地理解,例如有四個參數的函數:

 

經過上述操作,導出為形式

 

這應用到三元組之上可得到

 .

然後適當地寫成柯里化形式

 

一直繼續玩著重新安排符號的代數遊戲,最終導出了完全的柯里化形式

 

對箭頭運算符一般理解是右結合的,所以上面大部份的括號是多餘的,在意義不變的情況下可以刪除掉。因此,寫成了很常見的

 

也就是函數 f完全的柯里化形式。

定義

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從非形式的一般定義開始,柯里化是最容易理解的,然後再塑造它以適應許多不同的領域。
首先說明一些符號的標記法。

  表示從   映射到   的函數 

  表示從    的所有函數。

這裡,   可以是集合、或者是類型,或者它們可以是其它型別的物件,如下所述。

 表示有序對,即笛卡爾乘積。

給定類型為  的函數 柯里化即構造或創建一個新的函數:

 

也就是說, 取一個類型為  的參數,並返回一個類型為  的函數。Uncurrying則相反。

集合論

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數理領域的集合論中,符號  用於表示從  集合映射到  集合的函數。柯里化是指從  映射到   函數,和從  之中映射,由    函數,這些組合的自然變換。事實上是這種自然變換關係,闡述了出現在集合論中的指數符號。在集合的範疇論中  被稱為指數物件。

函數空間

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在函數空間理論中,如泛函分析或拓撲的同倫,人們通常對拓撲空間之間的連續函數感興趣。從    所有的函數集,寫成  (Hom函子)並使用   來表示連續函數的子集。在這裡的  一一對應的

 

uncurrying 是反向的映射。如果從    集合為連續函數 給出了紧致开拓扑緊緻開拓撲,而且如果  空間是局部豪斯多夫緊緻的,那麼  是一個連續函數,也是同胚。儘管可能有更多情況,當    緊生成的時候,情況都是相同的。

這結果發展成了指數表示法

 

有時稱為指數法則。 而有用的推論是,一個函數若且唯若其柯里化形式是連續時,它才是連續的。另一個重要的結果是應用程序映射(在這種情況通常稱為“評估”)是連續的(注意eval在計算機科學中的概念與此嚴格不同)。也就是說,

 

 是緊緻開放的,而且  局部緊緻的豪斯多夫時,那上述式子是連續的。這兩個結果對於確立同倫的連續性非常重要,亦即當  是單位區間  ,所以  能想成 就是從   的兩個函數的同倫,或者等價地,是  中的單個(連續)路徑。

代數拓撲

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域理論

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在序理論對於偏序集合的格,當格是給定的 Scott拓撲時,則  會是一個連續函數。為了提供 lambda演算的語義學,要先研究 Scott連續函數(因為普通集合理論不適合這樣做)。更一般地說,現在研究 Scott連續函數的域理論中,含括了計算機算法的指稱語義學。

請注意,Scott拓撲結構與拓撲空間範疇中可能遇到的許多常見拓撲結構完全不同; Scott拓撲通常更為精巧,而不是很嚴審的。連續性的概念使它出現在同倫類型理論中,粗略地說,兩個計算機程序可以被認為是同倫的,如果他們可以“連續”地從一個重構到另一個,即計算得出相同的結果。

Lambda演算

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型別理論

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在型別理論中,對於計算機科學型別系統的一般概念,被形式化為一個具體的代數類型。例如寫為  時, 意指那個   是一種類型,而   箭頭符號代表是類型構造函數,特別是指函數類型或箭頭類型。類似地,類型的笛卡爾積是由  構造函數,而建構出的複合結構類型。

型別理論方法可以用 ML編程語言表達,而受啟發衍生出的語言有:CaML,Haskell和F#。

邏輯

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Curry-Howard下,柯里化和对偶柯里化的存在相當於邏輯定理 ,因為多元组(型別積, product type)對應於邏輯中的且連接,而函數類型對應於蕴涵

範疇論

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历史

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「科里化」一词由克里斯托弗·斯特雷奇创造,以逻辑学家哈斯凱爾·加里命名。另外一个名词 "Schönfinkelisation" 则以Moses Schönfinkel命名。在数学历史中,这个原理可以追溯到1893年戈特洛布·弗雷格的工作。

参见

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