打开主菜单

标量乘法英语:scalar multiplication)是線性代數向量空間的一種基本運算[1][2][3](更廣義的,是抽象代數的一個[4][5])。在直覺上,將一個實數向量和一個正的實數進行标量乘法,也就是將其長度乘以此标量,方向不變。标量一詞也從此用法而來:可將向量缩放的量。标量乘法是將標量和向量相乘,結果得到一向量,和內積將兩向量相乘,得到一純量不同。

「标量乘法」的各地常用別名
中国大陸 标量乘法、数乘
港臺 純量乘法、係數積
用标量乘法得到一向量的三倍
向量a的标量乘法,−a和2a

目录

定義编辑

K,而VK上的向量空間,标量乘法為從K× VV函数。將K中的cV中的v計算标量乘法,結果記為cv

性質编辑

标量乘法符合以下的規則:(粗体表示向量)

  • 标量的加成性:(c + d)v = cv + dv
  • 向量的加成性:c(v + w) = cv + cw
  • 标量相乘和标量乘法的結合律:(cd)v = c(dv);
  • 乘以1不會改變向量:1v = v
  • 乘以0會得到零向量英语zero vector:0v = 0
  • 乘以-1會得到加法逆元:(−1)v = −v.

其中+表示域或是向量空間的加法,0是域或是向量空間的加法單位元

詮釋编辑

标量乘法可以視為是向量空間的外部二元运算或域的群作用。标量乘法的幾何詮釋是向量的拉長,方向可能會對調。

标量乘法中,V也可以是K,則标量乘法就變成域中的乘法。

VKn,标量乘法等於向量中的每一個元素都和標量相乘,需另外定義。

K交换环VK上的,同樣的定義仍可以適用。 K甚至可以是一個半環,但沒有加法逆元。若K不符合交換律,可以定義左标量乘法cv和右標量乘法vc

相關编辑

參考資料编辑

  1. ^ Lay, David C. Linear Algebra and Its Applications 3rd. Addison–Wesley. 2006. ISBN 0-321-28713-4. 
  2. ^ Strang, Gilbert. Linear Algebra and Its Applications 4th. Brooks Cole. 2006. ISBN 0-03-010567-6. 
  3. ^ Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right 2nd. Springer. 2002. ISBN 0-387-98258-2. 
  4. ^ Dummit, David S.; Foote, Richard M. Abstract Algebra 3rd. John Wiley & Sons. 2004. ISBN 0-471-43334-9. 
  5. ^ Lang, Serge. Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer. 2002. ISBN 0-387-95385-X.