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格尔丰德-施奈德定理

定理

格尔丰德-施奈德定理(Gelfond–Schneider theorem)是一个可以用于证明许多数的超越性的结果。这个定理由Aleksandr Gelfond在1934年、Theodor Schneider在1935年分别独立证明,它回答了希尔伯特第七问题

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表述编辑

如果α和β是代数数,其中α≠0且≠1,且β不是有理数,那么任何 的值一定是超越数

评论编辑

  •   不限于实数,它们可以是复数。當虛部不為零時,視為無理數,既使實部和虛部皆為有理數。
  • 一般地, 多值的,其中“log”表示复数对数
  • 该定理的一个等价的表述是:如果  是非零的代数数,那么 要么是有理数,要么是超越数。
  • 如果没有  是代数数的限制,这个定理就不一定成立。例如,如果  ,那么 ,它是代数数。

定理的应用编辑

利用这个定理,立刻就可以推出以下实数的超越性:

  •  格尔丰德-施奈德常数)和 
  •  格尔丰德常数),以及 (这是因为  的值之一)。

参见编辑

参考文献编辑