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格拉姆-施密特正交化

线性代数中,如果内积空间上的一组向量能够组成一个子空间,那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。Gram-Schmidt正交化提供了一种方法,能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个正交基,并可进一步求出对应的标准正交基

线性代数

向量 · 向量空间  · 行列式  · 矩阵

这种正交化方法以约尔根·佩德森·格拉姆英语Jørgen Pedersen Gram艾哈德·施密特英语Erhard Schmidt命名,然而比他们更早的拉普拉斯(Laplace)和柯西(Cauchy)已经发现了这一方法。在李群分解中,这种方法被推广为岩泽分解(Iwasawa decomposition)。

数值计算中,Gram-Schmidt正交化是数值不稳定的,计算中累积的舍入误差会使最终结果的正交性变得很差。因此在实际应用中通常使用豪斯霍尔德变换Givens旋转进行正交化。

目录

记法编辑

  •  维数n 的内积空间
  •   中的元素,可以是向量、函数,等等
  •    内积
  •    …… 张成的子空间
  •    上的投影

基本思想编辑

 
图1   上投影,构造 上的正交基 

Gram-Schmidt正交化的基本想法,是利用投影原理在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。

   上的 维子空间,其标准正交基为 ,且 不在 上。由投影原理知, 与其在 上的投影 之差

 


是正交于子空间 的,亦即 正交于 的正交基 。因此只要将 单位化,即

 

那么 就是  上扩展的子空间 的标准正交基。

根据上述分析,对于向量组 张成的空间  ( ),只要从其中一个向量(不妨设为 )所张成的一维子空间 开始(注意到 就是 的正交基),重复上述扩展构造正交基的过程,就能够得到  的一组正交基。这就是Gram-Schmidt正交化

算法编辑

首先需要确定已有基底向量的顺序,不妨设为 。Gram-Schmidt正交化的过程如下:

   
   
   
   
   

这样就得到 上的一组正交基 ,以及相应的标准正交基 


考察如下欧几里得空间Rn中向量的集合,欧氏空间上内积的定义为<a, b> = bTa

 

下面作Gram-Schmidt正交化,以得到一组正交向量:

 
 

下面验证向量  的正交性:

 

将这些向量单位化:

 
 

于是 就是   的一组标准正交基底。

不同的形式编辑

随着内积空间上内积的定义以及构成内积空间的元素的不同,Gram-Schmidt正交化也表现出不同的形式。

例如,在实向量空间上,内积定义为:

 

在复向量空间上,内积定义为:

 

函数之间的内积则定义为:

 

与之对应,相应的Gram-Schmidt正交化就具有不同的形式。

参见编辑

外部链接编辑