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格林恆等式Green's identities)乃是向量分析的一組共三條恆等式,以發現格林定理的英國數學家喬治·格林命名。

格林第一恆等式编辑

設定向量場 ;其中,在 的某區域 內, 是二次連續可微標量函數, 是一次連續可微標量函數,則從散度定理

 

可以推導出格林第一恆等式[1]

 

其中, 是區域 的邊界, 是取於邊界面 法向導數,即 

格林第二恆等式编辑

假若在區域 內,  都是二次連續可微,則可交換  ,從 的格林第一恆等式得到 的格林第一恆等式。將這兩個恆等式相減,則可得到格林第二恆等式:

 

格林第三恆等式编辑

假設函數 拉普拉斯方程式基本解fundamental solution):

 

其中, 狄拉克δ函數

例如,在R3,基本解的形式為

 

函數 稱為格林函數。對於變數  的交換,格林函數具有對稱性,即 

設定 ,在區域 內, 是二次連續可微。假若 在積分區域 內,則應用狄拉克δ函數的定義,

 

其中,  分別積分  

這是格林第三恆等式。假若 調和函數,即拉普拉斯方程式的解:

 

則這恆等式簡化為

 

參閱编辑

參考文獻编辑

  1. ^ Strauss, Walter. Partial Differential Equations: An Introduction. Wiley.