格林恆等式（Green's identities）乃是向量分析的一組共三條恆等式，以發現格林定理的英國數學家喬治·格林命名。
設定向量場 F = ψ ∇ ϕ {\displaystyle \mathbf {F} =\psi \nabla \phi } ；其中，在 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 的某區域 U {\displaystyle \mathbb {U} } 內， ϕ {\displaystyle \phi } 是二次連續可微標量函數， ψ {\displaystyle \psi } 是一次連續可微標量函數，則從散度定理，
可以推導出格林第一恆等式[1]：
其中， ∂ U {\displaystyle \partial \mathbb {U} } 是區域 U {\displaystyle \mathbb {U} } 的邊界， ∂ ∂ n {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial n}}} 是取於邊界面 ∂ U {\displaystyle \partial \mathbb {U} } 的法向導數，即 ∂ ϕ ∂ n = ∇ ϕ ⋅ n {\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial n}}=\nabla \phi \cdot \mathbf {n} } 。
假若在區域 U {\displaystyle \mathbb {U} } 內， ϕ {\displaystyle \phi } 和 ψ {\displaystyle \psi } 都是二次連續可微，則可交換 ϕ {\displaystyle \phi } 與 ψ {\displaystyle \psi } ，從 ( ψ , ϕ ) {\displaystyle (\psi ,\phi )} 的格林第一恆等式得到 ( ϕ , ψ ) {\displaystyle (\phi ,\psi )} 的格林第一恆等式。將這兩個恆等式相減，則可得到格林第二恆等式：
假設函數 G {\displaystyle G} 是拉普拉斯方程式的基本解（fundamental solution）：
其中， δ ( x − x ′ ) {\displaystyle \delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')} 是狄拉克δ函數。
例如，在R3，基本解的形式為
函數 G {\displaystyle G} 稱為格林函數。對於變數 x {\displaystyle \mathbf {x} } 與 x ′ {\displaystyle \mathbf {x} '} 的交換，格林函數具有對稱性，即 G ( x , x ′ ) = G ( x ′ , x ) {\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=G(\mathbf {x} ',\mathbf {x} )} 。
設定 ϕ = G {\displaystyle \phi =G} ，在區域 U {\displaystyle \mathbb {U} } 內， ψ {\displaystyle \psi } 是二次連續可微。假若 x {\displaystyle \mathbf {x} } 在積分區域 U {\displaystyle \mathbb {U} } 內，則應用狄拉克δ函數的定義，
其中， d V ′ {\displaystyle dV'} 、 d S ′ {\displaystyle dS'} 分別積分 x ′ {\displaystyle \mathbf {x} '} 於 U {\displaystyle \mathbb {U} }
這是格林第三恆等式。假若 ψ {\displaystyle \psi } 是調和函數，即拉普拉斯方程式的解：
則這恆等式簡化為
是拉普拉斯方程式的基本解（fundamental solution）：
；
是狄拉克δ函數。
。 稱為格林函數。對於變數
與
的交換，格林函數具有對稱性，即
。
，在區域
內，
是二次連續可微。假若 在積分區域 內，則應用狄拉克δ函數的定義，
![\psi ({\mathbf {x}})-\int _{{\mathbb {U}}}\left[G({\mathbf {x}},{\mathbf {x}}')\nabla '^{{\,2}}\psi ({\mathbf {x}}')\right]\,{\mathrm {d}}V'=\oint _{{\partial {\mathbb {U}}}}\left[\psi ({\mathbf {x}}'){\partial G({\mathbf {x}},{\mathbf {x}}') \over \partial n'}-G({\mathbf {x}},{\mathbf {x}}'){\partial \psi ({\mathbf {x}}') \over \partial n'}\right]\,{\mathrm {d}}S'](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f99204a410664231b86b726d9af29b648046b01)
；
、
分別積分 於
是調和函數，即拉普拉斯方程式的解：
，![\psi(\mathbf{x}) = \oint_{\partial \mathbb{U}} \left[\psi(\mathbf{x}') {\partial G(\mathbf{x},\mathbf{x}' ) \over \partial n'} - G(\mathbf{x},\mathbf{x}' ) {\partial \psi(\mathbf{x}') \over \partial n'} \right] \, \mathrm{d}S'](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36b9e09f208dde121775e96b89e7eded452e7db0)
。
