格林恆等式(Green's identities)乃是向量分析的一組共三條恆等式,以發現格林定理的英國數學家喬治·格林命名。
設定向量場 F = ψ ∇ ϕ {\displaystyle \mathbf {F} =\psi \nabla \phi } ;其中,在 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 的某區域 U {\displaystyle \mathbb {U} } 內, ϕ {\displaystyle \phi } 是二次連續可微標量函數, ψ {\displaystyle \psi } 是一次連續可微標量函數,則從散度定理,
可以推導出格林第一恆等式[1]:
其中, ∂ U {\displaystyle \partial \mathbb {U} } 是區域 U {\displaystyle \mathbb {U} } 的邊界, ∂ ∂ n {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial n}}} 是取於邊界面 ∂ U {\displaystyle \partial \mathbb {U} } 的法向導數,即 ∂ ϕ ∂ n = ∇ ϕ ⋅ n {\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial n}}=\nabla \phi \cdot \mathbf {n} } 。
假若在區域 U {\displaystyle \mathbb {U} } 內, ϕ {\displaystyle \phi } 和 ψ {\displaystyle \psi } 都是二次連續可微,則可交換 ϕ {\displaystyle \phi } 與 ψ {\displaystyle \psi } ,從 ( ψ , ϕ ) {\displaystyle (\psi ,\phi )} 的格林第一恆等式得到 ( ϕ , ψ ) {\displaystyle (\phi ,\psi )} 的格林第一恆等式。將這兩個恆等式相減,則可得到格林第二恆等式:
假設函數 G {\displaystyle G} 是拉普拉斯方程式的基本解(fundamental solution):
其中, δ ( x − x ′ ) {\displaystyle \delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')} 是狄拉克δ函數。
例如,在R3,基本解的形式為
函數 G {\displaystyle G} 稱為格林函數。對於變數 x {\displaystyle \mathbf {x} } 與 x ′ {\displaystyle \mathbf {x} '} 的交換,格林函數具有對稱性,即 G ( x , x ′ ) = G ( x ′ , x ) {\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=G(\mathbf {x} ',\mathbf {x} )} 。
設定 ϕ = G {\displaystyle \phi =G} ,在區域 U {\displaystyle \mathbb {U} } 內, ψ {\displaystyle \psi } 是二次連續可微。假若 x {\displaystyle \mathbf {x} } 在積分區域 U {\displaystyle \mathbb {U} } 內,則應用狄拉克δ函數的定義,
其中, d V ′ {\displaystyle dV'} 、 d S ′ {\displaystyle dS'} 分別積分 x ′ {\displaystyle \mathbf {x} '} 於 U {\displaystyle \mathbb {U} }
這是格林第三恆等式。假若 ψ {\displaystyle \psi } 是調和函數,即拉普拉斯方程式的解:
則這恆等式簡化為