棣莫弗公式

复平面上的立方根等於1.

棣莫弗公式是一個關於複數三角函數的公式,命名自法國數學家亞伯拉罕·棣美弗Abraham de Moivre,1667年-1754年)。其內容為對任意複數x整數n,下列性質成立:

其中i虛數單位i2 = −1)。值得注意的是,儘管本公式以棣美弗本人命名,他從未直接地將其發表過[1]。為了方便起見,我們常常將cos(x) + i sin(x)合併為另一個三角函數cis(x),也就是說:

在操作上,我們常常限制x屬於實數,這樣一來就可藉由比較虛部與實部的方式把cos(nx)sin(nx)變化為cos(x)sin(x)的形式。另外,儘管棣美弗公式限制n須為整數,但倘若吾人適當推廣本公式,便可將n拓展到非整數的領域。

證明编辑

(证明的思路是用数学归纳法证明正整数的情形,并推广到负整数。)

 

(1)当 时,显然成立。

(2)當 时:

左式   右式

因此, 成立。

(3)當 时:

假設 成立,即 

 时:

 

等号1处使用和角公式

因此, 也成立。

综上所述,根據數學歸納法,  成立。

另外,由恒等式:

 

可知,公式对于负整数情况也成立。

证毕。

验证编辑

最简单的方法是应用欧拉公式[2]

由於 
所以 

用棣莫弗公式求根编辑

此定理可用來求單位複數的   次方根。設  ,表為

 

 ,則   也可以表成:

 

按照棣莫弗公式:

 

於是得到

 (其中  

也就是:

 

  ,我們得到   個不同的根:

 

參考文獻编辑

  1. ^ Lial, Margaret L.; Hornsby, John; Schneider, David I.; Callie J., Daniels. College Algebra and Trigonometry 4th. Boston: Pearson/Addison Wesley. 2008: 792. ISBN 9780321497444. 
  2. ^ 林琦焜. 棣美弗定理與 Euler 公式 (PDF). 中央研究院. 2006-12-22 [2017-06-18].