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椭圆和它的某些数学性质

数学中,椭圆是平面上到两个固定点的距离之和为常数的点之轨迹。

根據該定義,可以用手繪橢圓:先準備一條線,將這條線的兩端各綁在固定的點上(這兩個點就當作是橢圓的兩個焦點,且距離小於線長);取一支筆,用筆尖将線繃緊,這時候兩個點和筆就形成了一個三角形(的兩邊);然後左右移動筆尖拉著線開始作圖,持續地使線繃緊,最後就可以完成一個橢圓的圖形了。

  • 由於兩個固定點之間的距離也是一定的,所以可以省去綁在點上這一步驟而改將線綁成環狀,然後以筆尖和這兩個焦點將線繃直即可。下同。

目录

概述编辑

 
一個平面切截一個圓錐面得到的橢圓。

椭圆是一种圆锥曲线:如果一个平面切截一个圆锥面,且不与它的底面相交,也不与它的底面平行,则圆锥和平面交截线是个椭圆。

在代数上说,椭圆是在笛卡尔平面上如下形式的方程所定义的曲线

 

使得  ,这里的係数都是实数,并存在定义在椭圆上的点对 (x, y) 的多于一个的解。

穿过两焦点并终止于椭圆上的线段 AB 叫做长轴。长轴是通过连接椭圆上的两个点所能获得的最长线段。穿过中心(两焦点的连线的中点)垂直于长轴并且终止于椭圆的线段 CD 叫做短轴半長軸(图中指示为 a)是长轴的一半:从中心通过一个焦点到椭圆的边缘的线段。类似的,半短軸(图中指示为 b)是短轴的一半。

如果两个焦点重合,则这个椭圆是;换句话说,圆是离心率为零的椭圆。

中心位于原点的椭圆   可以被看作单位圆在关联于对称矩阵  线性映射下的图像,这里的 D 是带有  特征值对角矩阵,二者沿着主对角线都是正实数的,而 P 是拥有  特征向量作为纵列的实数的酉矩阵。椭圆的长短轴分别沿着   的两个特征向量的方向,而两个与之对应的特征值分别是半长轴半短轴的长度的平方的倒数。

椭圆可以通过对一个圆的所有点的 x 坐标乘以一个常数而不改变 y 坐标来生成。

离心率编辑

椭圆的形状可以用叫做椭圆的离心率的一个数来表达,习惯上指示为  。离心率是小于 1 大于等于 0 的实数。离心率 0 表示着两个焦点重合而这个椭圆是

对于有半长轴 a 和半短轴 b 的椭圆,离心率是

 

离心率越大,ab比率就越大,因此椭圆被更加拉长。

半焦距c 等于从中心到任一焦点的距离,则

 

距离 c 叫做椭圆的线性离心率。在两个焦点间的距离是 2aε。

方程编辑

 
在正規位置上的橢圓的參數方程。參數 t 是藍線對於 X-軸的角度。

中心位于点   的主轴平行于 x 轴的椭圆由如下方程指定

 

这个椭圆可以参数化表达为

 
 

这里的   可以限制于区间  

如果   (就是说,如果中心是原点(0,0)),则

 
 

这个参数方程揭示了两个方向相互垂直的简谐运动(表现为具有周期性的简谐波)合成了闭合的椭圆形周期性运动(表现为轨迹是椭圆)。

椭圆方程    
图像
范围    

相對於中心的極坐標形式编辑

用极坐标可表达为

 

这里的   是椭圆的离心率。

相對於焦點的極坐標形式编辑

 
橢圓的極坐標,原點在 F1

有一个焦点在原点的椭圆的极坐标方程

 

半正焦弦和极坐标编辑

椭圆的半正焦弦(通常指示为  ),是从椭圆的一个焦点到椭圆自身,沿着垂直主轴的直线测量的距离。它有关于   (椭圆的半轴),通过公式   或者如果使用离心率的话  

极坐标中,一个焦点在原点而另一个焦点在负 x 轴上的椭圆给出自方程

 

椭圆可以被看作是圆的投影:在与水平面有角度 φ 的平面上的圆垂直投影到水平面上给出离心率 sin φ 的椭圆,假定 φ 不是 90°。

 
橢圓(用紅色繪制)可以表達為内旋轮线在 R=2r 時的特殊情況。

面积和周长编辑

椭圆所包围的面积是  ,这里的  ,和 , 是半长轴和半短轴。在圆的情况下 ,表达式简化为  。 椭圆的周长是  ,这里的函数 是第二类完全椭圆积分

周长为: 或者 

精确的无穷级数为:

 

或:

 

拉马努金给出一个更为接近的式子:

 

它还可以写为:

 

还有一条近似很高的公式:

 

标准方程的推导编辑

  • 如果在一个平面内一个动点到两个定点距离等于定长,那么这个动点的轨迹叫做椭圆。

假设(注意所有假设只是为了导出椭圆方程时比较简便)动点为 ,两个定点为  ,则根据定义,动点 的轨迹方程满足(定义式):

 ,其中 为定长。

用两点的距离公式可得:  ,代入定义式中,得:

 

整理上式,并化简,得:

 

 时,并设 ,则①式可以进一步化简:

 

因为 ,将②式两边同除以 ,可得:

 

则该方程即动点 的轨迹方程,即椭圆的方程。这个形式也是椭圆的标准方程

  • 椭圆的图像如果在直角坐标系中表示,那么上述定义中两个定点被定义在了x轴。若将两个定点改在y轴,可以用相同方法求出另一个椭圆的标准方程
 
  • 在方程中,所设的 称为长轴长, 称为短轴长,而所设的定点称为焦点,那么 称为焦距。在假设的过程中,假设了 ,如果不这样假设,会发现得不到椭圆。当 时,这个动点的轨迹是一个线段;当 时,根本得不到实际存在的轨迹,而这时,其轨迹称为虚椭圆。另外还要注意,在假设中,还有一处: 
  • 通常认为是椭圆的一种特殊情况。

椭圆的旋转和平移编辑

对于平面上任意椭圆  ,我们总可以将之转化为

 

的形式。具体步骤为,将后式的各乘积乘方项展开,根据与前式对应项係数相等的法则便可求得u,v,f的值。其中, 便是该椭圆的中心(f=0)。

若将

 
 

带入式中便可得到平移前的椭圆。

 ,则表示椭圆的长短轴与坐标系的坐标轴并不平行或垂直,即发生了旋转。设旋转的角度为 ,则有

  ,则说明 

若将

 
 

带入式中便可得到旋转前的椭圆。

漸開線及其導數编辑

 


 

有了橢圓漸開線的導數我們可以計算它的長度,其中 是第二類完全橢圓積分

参见编辑

外部链接编辑