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椭圆曲线列表。图中所示的区域为[−3,3]2 (当(a, b) = (0, 0)时函数不光滑,因此不是椭圆曲线。)

數學上,橢圓曲線(英語:Elliptic curve,縮寫為EC)為一平面代數曲線,由如下形式的方程定义

且满足其是無奇點的;亦即,其圖形沒有尖點自相交。(当系数域特征为2或3时,上面的方程不能涵盖所有非奇异的三次曲线;见下面的#一般域上的椭圆曲线。)

正式地,椭圆曲线是光滑的射影的亏格为1的代数曲线,其上有一个特定的点O。椭圆曲线是阿贝尔簇 – 也就是说,它有代数上定义的乘法,并且对该乘法形成阿贝尔群 – 其中 O即为单位元。

,其中P為任一沒有重根的三次或四次多項式,然後可得到一虧格1的無奇點平面曲線,其通常亦被稱為橢圓曲線。更一般化地,一虧格1的代數曲線,如兩個三維二次曲面相交,即稱為橢圓曲線。

运用椭圆函数理论,我们可以证明定义在复数上的椭圆曲线对应于环面复射影平面内的嵌入。环面也是一个阿贝尔群,事实上,这个对应也是一个群同构

实数域上的椭圆曲线编辑

 
曲线y2 = x3xy2 = x3x + 1的图像

尽管椭圆曲线的正式定义需要一定的代数几何背景,在实数上的椭圆曲线的一些特征可以使用入门级别的代数几何来描绘。

在这种情况下,椭圆曲线是由下列方程定义的平面曲线

 

其中ab为实数。这类方程被称为魏尔斯特拉斯方程

椭圆曲线的定义也要求曲线是非奇异的。几何上来说,这意味着图像里面没有尖点自相交或孤立点。代数上来说,这成立当且仅当判别式

 

不等于0。(尽管这里的因子−16与曲线是否是非奇异的无关,这样定义判别式在对椭圆曲线进行更深入的研究时有用。)

非奇异椭圆曲线的(实)图像在判别式为正的时候有两个连通分量,在判别式为负时则有一个连通分量。例如,在本小节的图像中,第一个曲线的判别式为64,而第二个曲线的判别式为−368。

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定義無窮遠點0為橢圓曲線E上的一點。定義 + 運算子:取E上的兩點P,Q,若兩者相異,P + Q表示穿過PQ的弦和橢圓曲線相交的第三點,再經x軸反射的鏡像點;若兩者是同一點,P+P=2P表示以P為切點和橢圓曲線相交的點再經x軸反射的鏡像點。若P和Q的弦與y軸平行,P+Q=0(無限遠點)。+定義了一個E上的交換群,這個群以0為單位元。

 

特別地,所有有理點組成了E的子群。

上面的群可以用代數方式定義。給定域 (其中 的特徵值非2或者3)上的曲線 ,及非無窮遠點 。先假設 ,設 (因 是域, 有定義)。定義 

因为 共线,令该直线 的方程为 。直线 与曲线 相交,有:

 

 是两线的交点,即方程的解。有:

 

替换系数后可得:

 
 

 

  •   
  •   ,其值為:
 
 
 

复数域上的椭圆曲线编辑

有理数域上的椭圆曲线编辑

一般域上的椭圆曲线编辑

椭圆曲线可以被定义在任意 K上;椭圆曲线的正式定义是K上的亏格为1的非奇异射影代数曲线,并具有一个定义在K特殊的点。

如果K特征不等于2或3,那么K上每个椭圆曲线都能写成如下形式

 

其中pqK中的元素,使得右手边的多项式x3pxq没有二重根。如果特征等于2或3,那么需要保留更多项:在特征为3的情况下,最一般的方程具有如下形式

 

这里常数b2, b4, b6可以任取,但需满足使得右手边的多项式无重根(写成这个形式有历史原因)。在特征为2的情况下,即使是这种形式也不够,其最一般的方程为

 

需满足所定义的簇是非奇异的。

椭圆曲线的其他表示编辑

參考文獻编辑

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外部連結编辑